청덕동고1수학과외: 합성함수에서 함수 전체를 괄호로 대입하기
청덕고등학교 과제와 지필평가를 함께 준비하는 시기에는 풀이 한 줄을 생략한 채 계산으로 넘어가는 습관이 합성함수 오답으로 이어질 수 있다. 특히 청덕동에서 통학 후 제한된 시간에 문제를 풀 때는 답을 빨리 구하는 것보다 함수식의 어느 부분에 무엇을 대입했는지 남기는 과정이 필요하다.
대입해야 할 대상은 숫자가 아니라 함수식 전체다
함수 f(x)=2x-3, g(x)=x2+1이 있을 때 합성함수 (f∘g)(x)는 f(g(x))이다. 먼저 f(x)의 입력값 x가 다른 함수 g(x)로 바뀐다고 보아야 한다.
f(g(x))=2(g(x))-3=2(x2+1)-3=2x2-1
여기서 괄호 안의 g(x) 전체가 대입 대상이다. 2x2+1이라고 쓰면 2x-3의 x 자리에 x2만 넣고, 뒤의 +1은 따로 처리한 셈이므로 원래 함수식과 다른 계산이 된다.
풀이에서 사라진 한 줄을 찾아 다시 쓴 장면
수업 중 학생의 답안에는 f(g(x))=2x2+1이라고 적혀 있었다. g(x)=x2+1을 확인한 표시 없이 바로 다음 줄로 넘어갔고, f(x)의 상수항 -3도 결과에서 사라졌다. 이는 합성함수의 방향을 전혀 모르는 상태라기보다, 다른 함수 전체를 괄호째 대입하는 절차가 아직 풀이에 고정되지 않은 모습이다.
오답지에서는 계산 결과만 지우지 않고, 누락된 위치에 표시를 남긴다. 그다음 다음과 같이 해당 줄부터 다시 작성한다.
f(g(x))=2(g(x))-3
=2(x2+1)-3
=2x2-1
이때 괄호를 먼저 유지하면 2(x2+1)을 전개하는 과정에서 상수항과 부호를 함께 확인할 수 있다.
역함수에서도 ‘입력값의 자리’를 먼저 확인한다
역함수 문제에서도 같은 대입 판단이 필요하다. f(x)=3x+2라면 y=3x+2에서 문자를 바꾸어 x=3y+2로 놓고 정리한다.
x=3y+2에서 3y=x-2이므로 f-1(x)=(x-2)/3이다. 원래 함수에 역함수를 합성해 확인하면
f(f-1(x))=3((x-2)/3)+2=x-2+2=x
처럼 역함수 전체가 괄호 안에 들어간다. 3(x-2)/3+2처럼 분수 전체를 괄호로 묶지 않으면, 어떤 식을 원래 함수의 입력값으로 사용했는지 흐려질 수 있다.
식의 모양이 달라져도 같은 순서를 찾는지 확인하기
연습 뒤에는 함수의 식을 바꾼다. p(x)=x-4, q(x)=2x2+3일 때 (p∘q)(x)를 구하게 한다.
p(q(x))=q(x)-4=(2x2+3)-4=2x2-1
그림이나 대응 관계의 배치가 달라져도 바깥 함수 p의 입력 자리에 안쪽 함수 q(x) 전체를 넣는다는 성질을 찾아야 한다. 학생이 먼저 p(q(x))를 쓰고 괄호를 유지했다면 앞서 수정한 행동을 새로운 식에서도 스스로 적용한 것으로 본다.
짧은 통학 후에도 확인할 풀이 흔적
청덕동의 지역 내 고등학교는 청덕고등학교이며, 성지고등학교·기흥고등학교·보정고등학교·구성고등학교는 같은 기흥구의 참고 학교다. 학교별 경향을 단정하기보다, 통학과 과제가 겹친 날에도 합성함수 한 문제의 풀이줄을 점검하는 방식이 현실적이다.
마지막 확인에서는 정답만 보지 않는다. 새로운 함수식에서 f(g(x))를 먼저 적었는지, 대입한 함수 전체를 괄호로 묶었는지, 괄호를 푼 뒤 상수항과 부호를 보존했는지를 답안에서 확인한다.