영덕동고2수학과외

약분한 식과 함숫값을 같은 것으로 읽은 순간

영덕동에서 흥덕고등학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 자습할 때는 풀이량보다 계산 줄에 어떤 조건을 남겼는지가 중요하다. 한 점에서의 연속 문제에서는 식을 간단히 만드는 것만으로 연속을 판정할 수 없다.

구멍이 생긴 식에서 놓친 세 조건

다음 함수가 x=2 에서 연속인지 판단해 보자.

f(x)= { (x²-4)/(x-2), x≠2
3, x=2 }

학생의 풀이에는 다음과 같은 계산이 남아 있었다.

(x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 → f(2)=4

따라서 “극한값과 함수값이 모두 4이므로 연속”이라고 적었다. 하지만 마지막 줄에서 원래 함수의 값을 바꾸었다. 원래 정의에 따르면 f(2)=3이고, x≠2인 부분의 극한은

lim_x→2 f(x) = lim_x→2(x+2) = 4

이다. 즉, 극한값은 존재하지만 f(2)=3과 일치하지 않는다. 그러므로 x=2에서 연속이 아니다.

연속 판정표를 세 줄로 분리하기

한 점 x=a에서 연속이려면 다음 세 조건을 따로 확인해야 한다.

1. f(a)가 정의되어 있는가?
2. lim_x→af(x)가 존재하는가?
3. lim_x→af(x)=f(a)인가?

위 문제에 적용하면 다음과 같다.

• f(2)=3이므로 함숫값은 존재한다.
• lim_x→2f(x)=4이므로 극한값도 존재한다.
• 4≠3이므로 두 값이 일치하지 않는다.

또한 약분을 거꾸로 확인하면 실수가 드러난다. x+2에 다시 x-2를 곱하면 x²-4는 복원되지만, 약분 과정에서 x=2를 제외했다는 조건까지 복원되지는 않는다. 따라서 x=2에서의 원래 함숫값 3을 x+2의 값 4로 바꿀 수 없다.

숫자를 바꾼 뒤에도 세 조건이 남는가

새로운 함수로 확인한다.

g(x)= { (x²-9)/(x-3), x≠3
6, x=3 }

먼저 x≠3에서

(x²-9)/(x-3) = (x-3)(x+3)/(x-3) = x+3

이므로

g(3)=6,   lim_x→3g(x)=lim_x→3(x+3)=6

이다. 이번에는 함숫값의 존재, 극한값의 존재, 두 값의 일치가 모두 확인된다. 따라서 g는 x=3에서 연속이다.

이처럼 계산이 끝난 뒤에는 약분된 식만 보지 말고, 원래 식에서 제외된 값과 따로 정의된 함숫값을 다시 대조해야 한다. 이 세 줄이 모두 채워질 때 한 점에서의 연속 판정이 완성된다.