영덕동고1수학과외, 합성함수의 순서가 달라지는 이유
흥덕고등학교 학생의 학교 프린트를 살펴보면 (f∘g)(x)와 (g∘f)(x)를 같은 식으로 처리하는 경우가 있다. 영덕동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 두 합성함수의 계산 순서를 식으로 직접 드러내는 연습이 필요하다.
괄호 안에 먼저 들어가는 함수가 결정하는 계산
합성함수의 정의는 다음과 같다.
(f∘g)(x)=f(g(x))
따라서 먼저 g에 x를 넣고, 그 결과를 다시 f에 넣는다. 반대로
(g∘f)(x)=g(f(x))
에서는 f를 먼저 계산한다. 기호의 위치가 아니라 실제 대입 순서가 달라지는 셈이다.
익숙한 전개만 이어 가며 생긴 오답
예를 들어 f(x)=2x-3, g(x)=x²+1일 때 학생은 다음과 같이 적었다.
(f∘g)(x)=2x-3+ x²+1
(g∘f)(x)=(2x-3)²+1
두 번째 식은 올바르지만 첫 번째 식은 f의 입력 자리에 g(x)를 통째로 넣지 않은 오류다. 정확한 계산은
(f∘g)(x)=f(x²+1)=2(x²+1)-3=2x²-1
이다. 반면
(g∘f)(x)=g(2x-3)=(2x-3)²+1=4x²-12x+10
이다. 두 결과가 다르므로 합성 순서를 바꾸면 일반적으로 같은 함수가 되지 않는다. 이 사례에서 학생이 다음 계산으로 바로 넘어간 까닭은 합성 기호를 보고 입력 함수와 바깥 함수를 구분하는 확인 흔적을 남기지 않았기 때문이다.
두 결과를 나란히 놓아 차이를 계산한다
수정할 때는 전개부터 하지 않고 각각의 중간 결과를 적는다.
- f∘g: x → x²+1 → 2(x²+1)-3=2x²-1
- g∘f: x → 2x-3 → (2x-3)²+1=4x²-12x+10
두 식의 차이는
(g∘f)(x)-(f∘g)(x)=2x²-12x+11
이므로 일반적으로 0이 아니다. 예를 들어 x=1이면 (f∘g)(1)=1, (g∘f)(1)=2가 되어 순서 차이를 수치로도 확인할 수 있다.
부호를 바꾼 새 조건에서 다시 확인하기
검증 문제에서는 f(x)=-2x-3, g(x)=x²+1처럼 f의 일차항 부호를 바꾼다. 이때도 먼저 표의 제목이나 그래프의 축 단위처럼 문제에 붙은 조건을 읽고, 함수의 입력과 출력 관계를 확인한 뒤 계산한다.
(f∘g)(x)=-2(x²+1)-3=-2x²-5
(g∘f)(x)=(-2x-3)²+1=4x²+12x+10
학생이 두 식을 직접 구하고, 어느 함수가 먼저 적용되었는지 옆에 표시한다면 같은 풀이를 외운 것이 아니라 순서를 새 조건에 적용한 것으로 판단한다. 시험 직전에는 새 교재를 늘리기보다 아직 끝내지 못한 합성함수 문제에서 이 확인 표시가 실제로 남아 있는지를 기록한다.