영덕동 고3수학과외: 공간 거리식에서 첫 번째 오류 찾기
영덕동에서 흥덕고등학교 수업을 마친 뒤 이동 시간을 줄여 자습하는 학생은 풀이량보다 답안의 첫 조건과 식을 정확히 기록하는 연습이 필요했다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교는 참고할 수 있는 인근 학교이지만 영덕동 소재 학교와는 구분해 보았다.
제곱근 안의 세 좌표 차이를 모두 확인하기
학생이 두 점 P(1,-2,3), Q(-3,1,5) 사이의 거리를 구하면서 다음과 같이 적었다.
PQ＝√{(1－(-3))²＋(-2－1)²}＝√25＝5
이 식은 오답이다. 공간에서 두 점 사이의 거리는 세 좌표의 차이를 모두 반영해야 하므로, 누락된 z좌표 차이 3－5를 포함해야 한다.
PQ＝√{(1＋3)²＋(-2－1)²＋(3－5)²}
＝√(16＋9＋4)＝√29
학생은 마지막 답만 5에서 √29로 바꾸지 않고, 틀린 줄에 표시한 뒤 좌표의 순서를 확인했다. x, y, z 세 변수의 관계를 표로 적고, 각 좌표 차이를 제곱한 항이 하나씩 들어갔는지 점검했다.
- x좌표 차이: 1－(-3)＝4
- y좌표 차이: -2－1＝-3
- z좌표 차이: 3－5＝-2
- 거리의 제곱: 4²＋(-3)²＋(-2)²＝29
또한 거리의 제곱이 29이므로 실제 거리가 √29라는 점을 역으로 확인했다. 제곱근 안에 음수가 남거나 좌표 차이 하나가 빠지면 거리의 정의를 만족하지 못한다.
대칭조건과 경계값을 함께 기록하기
공간의 대칭 문제에서는 대칭평면을 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 xy평면에 대한 점 P(1,-2,3)의 대칭점은 z좌표의 부호만 바뀌어 P'(1,-2,-3)이다. x와 y를 바꾸는 것은 xy평면 대칭의 조건이 아니다.
구의 조건이 구의 내부와 경계를 포함한다고 주어졌다면 부등식은 CP≤r로 적는다. 반대로 내부만 포함하면 CP<r이다. 학생은 이제 식 옆에 ‘경계 포함’ 또는 ‘경계 제외’를 표시하고, 거리값이 반지름과 같은 점을 직접 대입한다.
대칭평면을 바꾼 독립 검증
새 문제에서 점 A(4,-1,3)을 평면 z＝1에 대칭시킨 점을 구하고 두 점 사이 거리를 계산했다. z＝1에서 3까지의 거리는 2이므로 대칭점은 A'(4,-1,-1)이다.
따라서
AA'＝√{(4－4)²＋(-1＋1)²＋(3＋1)²}
＝√(0＋0＋16)＝4
이번에는 세 항을 모두 적되, 0인 좌표 차이도 생략하지 않았다. 대칭평면의 위치가 바뀌면 바뀌는 좌표와 변하지 않는 좌표를 먼저 구분해야 하며, 거리식의 세 항을 끝까지 남겨 두는 것이 최초 오류를 막는 기준이 되었다.