언남동고2수학과외

언남동 고2수학과외, 매개변수는 한쪽 극한만으로 정할 수 없다

언남동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으며, 성지고등학교·기흥고등학교·보정고등학교·구성고등학교·청덕고등학교 등 같은 기흥구의 학교를 통학권 참고 자료로 볼 수 있다. 귀가 후 과제와 시험 준비를 점검할 때도 함수의 극한 문제는 답만 확인하지 말고, 매개변수가 등장한 계산 줄을 끝까지 따라가야 한다.

오답은 매개변수를 구한 줄이 아니라 빠뜨린 극한에서 시작됐다

다음 함수에서 lim_x→2 f(x)가 존재하도록 실수 a의 값을 구해 보자.

f(x) =
{ ax+1   (x<2)
{ (x²−4)/(x−2)   (x>2)

풀이에서 학생은 오른쪽 식만 정리한 뒤

(x²−4)/(x−2)=x+2, 따라서 x→2일 때 극한은 4

라고 적고, “a는 극한에 영향을 주지 않는다”고 결론냈다. 그러나 이 계산은 오른쪽에서 접근한 값만 구한 것이다. 양쪽 극한이 같아야 전체 극한이 존재하므로 왼쪽 식도 따로 계산해야 한다.

연결점 x=2에서 좌극한과 우극한을 나란히 비교하기

왼쪽에서는 x<2인 식을 사용하므로

lim_x→2−f(x)=2a+1

이다. 오른쪽에서는 인수분해 후 약분할 수 있다.

lim_x→2+f(x) =lim_x→2+(x+2) =4

따라서 극한이 존재하려면

2a+1=4

이어야 하며, 결과는 a=3/2이다. 여기서 f(2)의 값은 양쪽 극한의 존재 여부를 결정하지 않는다. 극한에서는 연결점에 실제로 대입된 함수값보다 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 값의 일치가 먼저 필요하다.

답안에는 연결점 옆에 다음 세 줄을 고정해 적는다.

좌극한: 2a+1
우극한: 4
극한 존재 조건: 2a+1=4

숫자를 크게 바꾼 조건에서도 양쪽을 먼저 쓰는가

이제 다음 문제를 계산한다.

g(x) =
{ ax−2   (x<3)
{ (x²−9)/(x−3)   (x>3)

lim_x→3g(x)가 존재하도록 하는 a를 구할 때, 먼저 좌우를 분리한다.

좌극한 = 3a−2
우극한 = lim_x→3+(x+3)=6

그러므로 3a−2=6이고, a=8/3이다. 우극한 6만 계산한 뒤 매개변수를 정하려 하거나, 연결점의 함수값 5를 극한값으로 사용하는 풀이는 조건을 충족하지 못한다.

귀가 후 한 문제를 마쳤을 때도 정답 옆에 좌극한과 우극한을 각각 남겼는지 확인하면, 계산은 맞았지만 극한 존재의 근거가 빠지는 오류를 바로 찾을 수 있다.