언남동고1수학과외, 정의역이 바꾸는 함수의 의미
언남동에서 귀가 후 학교 프린트와 문제집을 번갈아 보는 고1 학생이라면 함수값 계산을 빠르게 끝내는 것보다 입력값이 허용되는지 먼저 판단해야 한다. 식이 같아 보여도 정의역이 다르면 서로 다른 함수가 될 수 있기 때문이다.
같은 식인데 함수가 달라지는 이유
다음 두 함수를 비교해 보자.
f(x)=x+2, 정의역이 {0, 1, 2}인 함수와
g(x)=x+2, 정의역이 {-1, 0, 1, 2, 3}인 함수가 있다.
두 함수의 식은 모두 x+2이지만, f에서 입력할 수 있는 값은 0, 1, 2뿐이다. 따라서 f(3)은 정의되지 않는다. 반면 g(3)=5이다. 식의 계산 결과만 보지 않고 ‘어떤 x를 입력할 수 있는가’까지 확인해야 두 함수를 구별할 수 있다.
정의역을 건너뛴 채 계산한 오답
학교 프린트에서 함수 h(x)=√(x-4)의 정의역을 실수 전체로 잘못 읽은 학생은 h(3)을 계산하며 다음과 같이 적었다.
h(3)=√(3-4)=√(-1)=-1
이 식은 두 곳에서 문제가 있다. 실수 범위에서 √(-1)은 정의되지 않으며, 제곱근을 제곱근 안의 수 그대로 음수로 바꿀 수도 없다. h(x)가 실수 함수라면 x-4≥0이어야 하므로 정의역은 x≥4이다. 따라서 3은 정의역에 포함되지 않아 h(3)은 계산할 수 없다.
값을 넣기 전 조건을 식 옆에 남긴다
이 오류를 고칠 때는 함수식을 보자마자 대입하지 않고, 먼저 입력값과 정의역을 나란히 표시한다.
h(x)=√(x-4), 정의역 x≥4
입력값 x=3은 x≥4를 만족하지 않는다.
그러므로 결론은 h(3)은 정의되지 않는다이다. 반대로 h(7)을 구한다면 7≥4를 확인한 뒤 h(7)=√3으로 계산한다. 학생의 풀이에서 식 옆에 정의역 조건이 먼저 적히는지가 개념이 계산 과정으로 이어졌는지를 보여준다.
표현이 달라져도 같은 조건 찾기
문제집에서는 함수가 식으로 제시되지 않고 “실수 x에 대하여 √(2x+6)의 값을 구한다”처럼 문장으로 나올 수 있다. 이때도 제곱근 안의 수가 0 이상이어야 하므로
2x+6≥0, 즉 x≥-3
이라는 정의역 조건을 먼저 만든다. 입력값이 -4라면 식에 대입하기 전에 허용되지 않는 값임을 판단해야 한다. 식, 문장, 표 중 어떤 형식으로 제시되어도 ‘입력값이 정의역에 들어가는가’라는 동일한 질문으로 연결하는 연습이 필요하다.
처음 보는 유사문제로 확인하는 방법
시험 후에는 앞의 문제를 숫자만 바꾸어 반복하지 않고, 다음과 같이 표현을 바꾼 문제를 제시한다.
함수 p(x)=1/(x-5)의 정의역을 묻고, 이어서 p(5)의 존재 여부를 판단하게 한다. 분모가 0이 될 수 없으므로 정의역은 x≠5이고, p(5)는 정의되지 않는다.
학생이 풀이 시작 전에 x≠5를 표시한 뒤 p(5)를 계산하지 않고 ‘정의되지 않음’이라고 설명한다면, 근호 함수와 유리함수의 표현이 달라져도 정의역이라는 개념을 찾아 적용한 것이다. 언남동의 학부모가 귀가 후 과제 풀이를 살필 때도 정답만 확인하기보다 첫 줄에 정의역 조건이 남아 있는지를 보는 편이 학습 상태를 더 정확히 파악할 수 있다.