언남동고3수학과외

언남동 고3 수학과외에서 확인한 공간도형 오답 교정

언남동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 성지고등학교·기흥고등학교·보정고등학교·구성고등학교·청덕고등학교 등 같은 기흥구 통학권을 참고해 학생의 귀가 시각과 과제량에 맞춰 시험 복습 순서를 점검했다.

단면의 범위를 벗어난 교점에서 시작된 오답

한 변의 길이가 2인 정육면체를 좌표공간에서 0≤x,y,z≤2로 두고, 단면을 결정하는 평면을

π: x+y+z=3

으로 설정했다. 점 P(2,2,2)에서 평면 π까지의 거리를 구하는 문제였다.

학생은 단면 평면과 z축의 교점을 먼저 찾으며 다음과 같이 적었다.

x=0, y=0을 대입하면 z=3이므로 단면의 꼭짓점은 (0,0,3)이다.

이 식 자체의 계산은 맞지만, (0,0,3)은 정육면체의 범위 z≤2를 벗어나므로 실제 단면의 점이 아니다. 학생은 이 보이지 않는 교점을 단면 삼각형의 꼭짓점으로 사용해 거리 계산을 진행했고, 마지막에 부호만 바꾸어 오답을 숨기려 했다.

첫 모순 지점을 표시하고 조건을 다시 대입하기

• 틀린 줄 표시: z축 교점 (0,0,3)을 단면의 꼭짓점으로 사용한 줄에 표시한다.
• 조건 확인: 정육면체에서는 0≤z≤2이므로 z=3은 허용되지 않는다. 평면과 좌표축의 교점이 곧 단면 내부의 점이라는 보장은 없다.
• 식 수정: 거리 계산은 단면의 임의의 삼각형이 아니라 평면의 법선벡터 n=(1,1,1)을 이용한다.

점 P에서 평면까지의 거리는

d=|2+2+2-3|/√(1²+1²+1²)=3/√3=√3

이다. 수선의 발도 확인했다. P에서 법선 방향으로 1만큼 이동하면

(2,2,2)-(1,1,1)=(1,1,1)

이고, 이 점은 1+1+1=3을 만족하며 정육면체 안에 있다. 따라서 거리 √3은 평면에 재대입해도 맞고, 수선의 발의 좌표도 정의역을 벗어나지 않는다.

평면을 바꾼 독립 검증

같은 정육면체에서 평면을

π′: x+2y+2z=4

로 바꾸고 점을 Q(2,1,2)로 바꾸어 다시 검증했다. 학생은 먼저 좌표축 교점을 단면의 꼭짓점으로 확정하지 않고, 범위와 평면 조건을 함께 확인했다.

법선벡터는 n=(1,2,2)이므로

d=|2+2+4-4|/√(1+4+4)=4/3

이다. 수선의 발은

Q-(4/9)(1,2,2)=(14/9,1/9,10/9)

이며 모든 좌표가 0과 2 사이에 있다. 실제로 14/9+2(1/9)+2(10/9)=4이므로 새 평면 위에 놓인다. 조건을 바꿔도 먼저 교점의 존재 범위와 변수 조건을 확인한 뒤 거리식을 세우는 기준이 재현되었다.