신갈동고2수학과외

신갈동고2수학과외: 한쪽 극한만으로 매개변수를 정할 수 없는 이유

신갈동에서 기흥고등학교를 오가는 동안 학교 프린트의 풀이를 점검하다 보면, 구간별 함수 문제에서 계산은 남아 있지만 x가 어느 방향에서 접근하는지 표시되지 않은 답안을 발견할 수 있다. 특히 매개변수와 극한의 존재를 함께 묻는 문제에서는 이 작은 생략이 답 전체를 바꾼다.

극한의 존재는 좌극한과 우극한의 일치로 판단한다

다음 함수가 x=2에서 극한을 갖도록 하는 실수 a를 구해 보자.

f(x) = { ax-1  (x<2)
{ x²+1  (x≥2)

학생의 풀이에는 다음과 같은 식이 적혀 있었다.

x→2⁻에서 f(x)=ax-1이므로 2a-1=0, 따라서 a=1/2.

하지만 이 식은 극한이 0이라는 조건을 임의로 넣은 것이며, 극한의 존재 조건이 아니다. 또한 x가 2의 왼쪽에서 접근하는 경우만 계산했기 때문에 오른쪽에서의 값과 비교하지 않았다.

x=2에서 양쪽 접근을 분리해 계산하기

왼쪽에서는

lim_x→2⁻ f(x)=lim_x→2⁻(ax-1)=2a-1

오른쪽에서는

lim_x→2⁺ f(x)=lim_x→2⁺(x²+1)=5

양쪽 극한이 모두 존재하고 서로 같아야 전체 극한이 존재하므로

2a-1=5

2a=6,   a=3

따라서 극한값은 5이다. 함수가 x=2에서 어떤 값을 갖는지는 이 문제의 극한 존재 자체에는 영향을 주지 않지만, 좌극한과 우극한을 따로 계산하는 과정은 반드시 필요하다.

오류가 시작된 줄부터 접근 방향을 다시 세우기

풀이를 처음부터 베껴 쓰기보다, 학생이 2a-1=0이라고 적은 줄에서 멈춘다. 그 줄 옆에 다음 세 문장을 직접 덧붙인다.

1. x→2⁻인지 x→2⁺인지 표시한다.
2. 반대쪽 구간의 극한을 별도로 계산한다.
3. 극한의 존재 조건은 좌극한=우극한임을 식으로 연결한다.

이 문제에서는

좌극한: 2a-1, 오른쪽 극한: 5, 따라서 2a-1=5

라는 연결만 남겨도 잘못된 출발을 바로 수정할 수 있다.

기호와 구간을 바꾼 확인 문제

문자를 바꾼 다음 문제에서 같은 판단이 유지되는지 확인한다.

g(t) = { bt+4  (t<3)
{ 2t²-5  (t≥3)

t=3에서 극한이 존재하려면 접근 방향을 먼저 표시해야 한다.

lim_t→3⁻g(t)=3b+4

lim_t→3⁺g(t)=2·3²-5=13

따라서

3b+4=13,   3b=9,   b=3

새 문항에서도 한쪽 식만으로 매개변수를 정하지 않고, 연결점의 왼쪽과 오른쪽을 모두 계산한 뒤 일치 조건을 세웠다면 접근 방향을 제대로 적용한 것이다.

신갈역 생활권에서 이동 시간이 일정하지 않은 날에도 풀이를 짧게 점검하려면, 구간별 함수의 연결점 옆에 왼쪽 접근 → 오른쪽 접근 → 두 값 비교를 먼저 적는 습관이 효과적이다.