신갈동고1수학과외, 그래프에서 정의역과 치역을 끝까지 읽는 법
기흥고등학교의 학교 프린트와 고1 함수 문제를 살펴보면, 식을 계산하기 전에 그래프의 입력 범위를 확인해야 하는 경우가 자주 등장한다. 신갈역을 오가는 통학과 과제가 겹치는 시기에는 그래프의 보이는 부분만 빠르게 읽고 계산으로 넘어가는 오류가 나타나기 쉽다.
눈금에 보이는 구간이 곧 정의역은 아니다
다음 함수의 그래프가 일부만 제시되었다고 하자.
f(x) = √(4 - x)
근호 안이 음수가 될 수 없으므로
4 - x ≥ 0, 따라서 x ≤ 4
이다. 그러므로 전체 함수의 정의역은 x ≤ 4이고, 치역은 y ≥ 0이다. 만약 그림에 x축의 0부터 4까지만 표시되어 있다면, 그 눈금은 그래프를 보여 준 범위일 뿐 함수의 정의역 전체를 뜻하지 않는다.
오답은 대입식보다 앞에서 시작되었다
수업 중 한 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
그래프의 가로축이 0부터 4까지이므로 정의역은 0 ≤ x ≤ 4이다. 따라서 f(5)는 정의되지 않는다.
여기서 잘못된 줄은 ‘그래프의 가로축이 0부터 4까지이므로 정의역은 0 ≤ x ≤ 4’라고 판단한 부분이다. 실제 함수식의 정의역은 x ≤ 4이므로 음의 x값도 포함된다. 반대로 f(5)는 그래프가 잘렸기 때문이 아니라, 함수식에서 4 - 5 = -1이 되어 실수 범위의 제곱근을 계산할 수 없기 때문에 정의되지 않는다.
계산 전에 입력값의 자리를 표시한다
수정할 때는 풀이 첫 줄에 입력값이 정의역에 들어가는지 표시한다. 예를 들어 f(3)은
3 ≤ 4
이므로 정의역에 포함된다. 따라서
f(3) = √(4 - 3) = 1
로 계산할 수 있다. 반면 f(5)는
5 ≤ 4
가 거짓이므로 대입하지 않고, 정의역 밖의 값이라고 적는다. 이처럼 그래프의 눈금과 함수 전체의 조건을 구분해야 한다. 치역도 같은 방식으로 확인한다. 이 함수에서는 제곱근의 결과가 음수가 아니므로 y ≥ 0이다.
그래프의 흔적을 외우지 않고 관계를 설명하기
새 그래프를 볼 때 곡선의 모양이나 작도 흔적만 외우게 하지 않는다. 원점을 기준으로 한 사분원처럼 그려진 그래프라면, 가로 길이를 x, 세로 길이를 y로 두고 반지름과의 관계를 설명하게 한다. 예를 들어 반지름이 5인 제1사분원은
x² + y² = 25, x ≥ 0, y ≥ 0
이므로 y를 함수로 나타내면
y = √(25 - x²), 0 ≤ x ≤ 5
이다. 가로 길이 x가 0에서 5까지 변하므로 정의역은 [0, 5], 세로 길이 y도 0에서 5까지 변하므로 치역은 [0, 5]이다. 그래프의 선을 기억하는 대신 어떤 길이가 반지름을 이루고, 어떤 각의 범위에서 점을 읽는지 말할 수 있어야 한다.
조건을 섞은 문제에서 확인하는 방식
검증할 때는 앞의 √(4 - x) 문제를 그대로 반복하지 않고, 초등 기하의 직각삼각형 관계가 섞인 문제를 제시한다. 반지름 5인 제1사분원 위의 점을 함수
g(x) = √(25 - x²)
로 나타냈을 때, 학생이 먼저 0 ≤ x ≤ 5를 적고 g(6)을 정의역 밖으로 판정하는지 확인한다. 또한 x = 3일 때
g(3) = √(25 - 9) = 4
라고 하며 가로 길이 3, 세로 길이 4, 반지름 5의 관계를 설명하는지 살핀다. 작도한 곡선을 외운 답이 아니라 길이와 각의 조건에서 정의역과 치역을 다시 만들어 내는지를 보는 것이다.
이때 기록에는 정답만 남기지 않고, ‘눈금 범위를 정의역 전체로 판단한 줄’ 또는 ‘대입 전 정의역 확인을 생략한 줄’을 정확히 표시한다. 오류가 난 줄을 스스로 지목하고 새로운 그래프에서도 같은 확인 절차를 수행할 때, 함수값 계산 전 정의역을 점검하는 학습으로 연결된다.