신갈동 고3수학과외, 단면의 경계선을 끝까지 추적하기
신갈동에서 기흥고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 학생은 공간도형 문제를 읽은 뒤 그림을 빠르게 그리는 데 집중하다가, 평면이 지나는 모서리를 끝까지 연결하지 못하는 경우가 있었다. 특히 신갈역 생활권에서 이동 시간이 일정하지 않으면 풀이를 중간에 생략하는 습관이 굳어질 수 있어, 단면의 경계와 좌표 관계를 한 줄씩 확인하도록 지도했다.
점의 위치를 좌표로 고정한 뒤 단면을 결정하기
한 변의 길이가 6인 정육면체 ABCD-EFGH에서 A를 원점으로 두고
B(6,0,0), D(0,6,0), E(0,0,6)으로 잡는다. 점 P, Q, R이 각각 모서리 AB, AD, AE 위에 있고
AP=2, AQ=3, AR=1일 때, 평면 PQR이 정육면체와 이루는 단면의 모양과 넓이를 구한다.
학생은 처음에 P와 Q를 연결하고 P와 R을 연결한 뒤, Q와 R을 연결하지 않은 채 단면을 끝냈다. 또 점 R이 AE 위에서 A로부터 1만큼 떨어져 있다는 조건을 놓치고 다음과 같이 적었다.
오답: 평면의 방정식은 x/2+y/3+z/6=1이다.
이 식은 틀렸다. 절편형 방정식에서 각 분모는 해당 축과 만나는 좌표인데, 평면이 z축과 만나는 점은 R이고 AR=1이므로 z절편은 6이 아니라 1이다. 따라서 올바른 식은
x/2+y/3+z=1
이다. 또한 P, Q, R이 각각 AB, AD, AE에 놓였으므로 평면의 경계선은 세 점을 모두 연결한 삼각형 PQR이다. 정육면체 내부에서는 x, y, z가 모두 0 이상이고 각 절편이 정육면체의 변 길이 6보다 작으므로 다른 모서리까지 추가로 만날 수 없다.
틀린 줄을 표시하고 계산을 다시 검산하는 과정
- 틀린 줄 표시: z/6을 사용한 부분과 Q-R 선분을 생략한 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: P=(2,0,0), Q=(0,3,0), R=(0,0,1)인지 좌표를 다시 쓴다.
- 식 수정: x/2+y/3+z=1로 고친다.
- 경계 연결: AB 위의 P, AD 위의 Q, AE 위의 R을 P-Q-R-P 순서로 연결한다.
- 넓이 검산: 벡터를 이용하면 Q-P=(-2,3,0), R-P=(-2,0,1)이고, 외적의 크기는 7이다. 따라서 단면 넓이는 7/2이다.
학생은 그림에서 선분을 임의로 멈추지 않고, 평면과 각 면의 교선을 확인했다. 세 점이 서로 다른 세 모서리에 있고 세 절편이 모두 6보다 작다는 사실을 이용하면 단면이 삼각형으로 제한된다는 점도 함께 확인했다.
모서리 배치를 바꾼 독립 검증
이번에는 같은 정육면체에서 점 P, Q, R이 각각 AB, AD, AE 위에 있고
AP=3, AQ=2, AR=4라고 하자. 그러면 좌표는 P=(3,0,0), Q=(0,2,0), R=(0,0,4)이고 평면의 방정식은
x/3+y/2+z/4=1
이다. 세 절편 3, 2, 4가 모두 정육면체의 변 길이 6보다 작으므로 단면은 역시 PQR 삼각형이다. 벡터 Q-P=(-3,2,0), R-P=(-3,0,4)의 외적 크기는 14이므로 단면 넓이는 7이다.
숫자가 바뀌어도 먼저 모서리와 좌표를 확정하고, 평면이 만나는 경계선을 끝까지 연결한 뒤 식과 넓이를 검산해야 단면을 잘못 제한하지 않는다.