상하동고2수학과외

상하동 고2수학과외: 그래프에서 극한을 좌우로 읽는 연습

상하동은 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않아 기흥구 내 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교 등의 통학권을 참고할 수 있습니다. 방과 후 이동 뒤 확보한 자습 시간에는 그래프의 점 하나를 보고 답을 정하기보다, x가 왼쪽과 오른쪽에서 접근할 때 y값이 어디로 향하는지 먼저 기록해야 합니다.

채운 점의 높이가 극한값이 아닌 경우

어떤 그래프에서 x=2 근처의 모습이 다음과 같다고 하겠습니다.

• x가 2보다 작은 쪽에서 그래프가 y=3에 가까워진다.
• x가 2보다 큰 쪽에서도 그래프가 y=3에 가까워진다.
• (2, 1)에는 채운 점이 표시되어 있다.

이때 좌우극한은 각각

lim_x→2− f(x)=3,　lim_x→2+ f(x)=3

이므로 양쪽 값이 같아

lim_x→2 f(x)=3

이다. 채운 점의 높이는 f(2)=1을 나타낼 뿐, x가 2에 가까워질 때의 값인 극한값을 나타내지 않는다.

빈 원과 채운 점을 먼저 비교한 풀이

풀이 기록에는 다음과 같은 오답이 남아 있었다.

잘못된 줄:　lim_x→2 f(x)=f(2)=1

그래프의 채운 점을 바로 읽고 좌우에서 다가가는 경로를 확인하지 않은 것이다. 수정할 때는 좌극한과 우극한을 나누어 적는다.

수정한 줄:　lim_x→2 f(x)=3　(좌극한=우극한),　f(2)=1

달라진 기호는 f(2)를 극한값으로 쓰던 부분을 lim_x→2 f(x)로 구분한 점이다. 함수값과 극한값은 같을 수도 있지만, 그래프의 점이 따로 놓여 있으면 반드시 각각 확인해야 한다.

좌우 높이가 다르면 극한 자체가 없다

이번에는 x=−1에서 왼쪽 그래프가 y=2로, 오른쪽 그래프가 y=5로 접근하고 채운 점이 (−1, 4)에 있다고 하자.

lim_x→−1− f(x)=2,　lim_x→−1+ f(x)=5

좌극한과 우극한이 다르므로

lim_x→−1 f(x)는 존재하지 않는다.

채운 점 때문에 4를 답으로 적거나, 두 높이 중 하나를 임의로 고르면 안 된다. 먼저 양쪽에서 같은 값으로 모이는지 판단해야 한다.

새 그래프 두 개 중 적용할 풀이 고르기

다음 두 상황을 보고 어느 결론을 사용할지 먼저 선택한다.

1. x=3의 왼쪽과 오른쪽 그래프가 모두 y=−2로 접근하고, f(3)=6이다.
2. x=3의 왼쪽 그래프는 y=−2, 오른쪽 그래프는 y=1로 접근하고, f(3)=0이다.

첫 번째는 좌우극한이 같으므로 lim_x→3 f(x)=−2이고, 두 번째는 좌우극한이 다르므로 양쪽 극한이 존재하지 않는다. 답안에는 채운 점의 함수값만 쓰지 말고 좌극한과 우극한을 나란히 남겨 그래프의 접근 방향을 검증한다.