상하동고1수학과외: 함수값 괄호 대입과 원래 식 검산
상하동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 함수값 계산처럼 풀이 길이는 짧지만 부호와 괄호에 따라 답이 달라지는 문제를 점검하기 좋다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교 등은 통학권 참고 학교이며, 특정 학교의 출제 경향을 전제로 하지 않고 학교 자료와 문제집의 표현 차이에 대응하는 연습을 진행한다.
대입한 순간 사라진 괄호
함수 f(x)=2x2-3x+1에서 f(-2)를 구한다고 하자. 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
f(-2)=2(-2)2-3(-2)+1=-8+6+1=-1
잘못된 부분은 2(-2)2를 -8로 계산한 것이다. 제곱은 먼저 이루어지므로 (-2)2=4이고, 이 항은 2×4=8이다. 또 -3(-2)=+6이므로 정확한 계산은 다음과 같다.
f(-2)=2×4+6+1=15
검산은 답을 다시 보는 일이 아니라 원래 관계로 돌아가는 일
함수값 계산에서 검산할 때는 마지막 숫자만 살피지 않고, 대입한 값을 원래 함수식의 모든 괄호에 다시 넣는다. 위 문제에서는 계산 결과 15를 얻은 뒤 원래 식에 x=-2를 넣어 2(-2)2-3(-2)+1이 15가 되는지 확인한다. 이 과정에서 음수 앞의 마이너스와 제곱 괄호가 유지되었는지가 드러난다.
반대로 학생은 검산을 생략하고 다음 줄로 바로 넘어갔다. 이는 함수의 정의를 모르는 상태라기보다, 값을 대입한 뒤 식의 형태가 바뀌었는지 확인하는 중간 행동이 아직 풀이 절차로 자리 잡지 않은 상태에 가깝다.
풀이 전후에 같은 질문을 배치하기
- 풀이 전: 주어진 값이 음수나 식 전체인 경우 각 대입 위치에 괄호를 표시한다.
- 계산 후: 원래 함수식에 그 값을 다시 넣어 부호와 거듭제곱을 확인한다.
예를 들어 g(t)=t2-4t+3에서 g(a-1)을 구할 때는 (a-1)2-4(a-1)+3처럼 대입 직후 괄호를 남긴다. 이후 전개하면 a2-2a+1-4a+4+3=a2-6a+8이다. 풀이 전에는 괄호를 넣었는지, 풀이 후에는 전개한 식에 다시 t=a-1을 대입했을 때 원래 식과 같은 값이 나오는지를 확인한다.
형식이 바뀐 문제에서 첫 행동을 스스로 고르기
학교 프린트와 다른 문제집에서 h(x)=-x2+5x-6, h(3-b)를 계산하게 했을 때 풀이 순서를 알려주지 않는다. 학생이 먼저 ‘3-b 전체를 괄호로 대입한다’고 표시하고, -(3-b)2+5(3-b)-6을 만든다면 수정한 행동이 새로운 형식에도 이어진 것이다.
이때 단순히 답을 맞힌 것만 보지 않는다. 문제를 읽고 첫 행동을 스스로 정했는지, 대입 전후에 원래 식을 확인했는지를 함께 기록한다. 중2로 넘어가기 전에는 중1 과정에서 아직 끝내지 못한 대입·괄호 계산 내용을 학생 자신의 말로 설명하게 하여, 어느 부분이 미완료인지도 분명히 말할 수 있어야 한다.