상하동 통학 뒤 공간도형 거리 풀이 점검
상하동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없고, 성지고등학교·기흥고등학교·보정고등학교·구성고등학교·청덕고등학교 등 기흥구 내 학교가 통학권 참고 대상이다. 이동 후 자습 시간이 짧아질수록 해설을 기다리기보다 풀이 기준을 먼저 세우는 연습이 필요하다.
직선과 평면의 거리를 직선끼리에도 적용한 오답
학생은 다음 두 직선 사이의 거리를 구할 때 직선과 평면 사이의 거리식을 그대로 사용했다.
\(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+s(1,1,0)\),
\(L_2:(x,y,z)=(0,2,1)+t(1,0,1)\)
두 직선의 방향벡터는 \(\mathbf u=(1,1,0)\), \(\mathbf v=(1,0,1)\)이다. 그런데 학생은 한 점 \(P=(1,0,2)\)와 다른 직선의 방향벡터를 이용해
오답: \(\displaystyle d=\frac{|(1,0,2)\cdot(1,0,1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt2}\)
라고 적었다. 이 식은 좌표 원점을 기준으로 한 점과 평면의 관계를 나타내는 식도 아니며, 두 직선의 공통 수직 방향을 반영하지 않는다. 직선과 직선 사이에서는 두 방향벡터에 모두 수직인 벡터를 먼저 구해야 한다.
공통 수직벡터로 식을 다시 세우기
오답 줄에 선을 그은 뒤, 학생은 중간식 옆에 “두 직선에 모두 수직인 방향”이라고 사용 규칙을 적었다.
\[ \mathbf u\times\mathbf v =(1,1,0)\times(1,0,1)=(1,-1,-1) \]
각 직선에서 한 점씩 \(A=(1,0,2)\), \(B=(0,2,1)\)을 잡으면
\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(-1,2,-1) \]이다. 따라서 두 직선 사이의 거리는
\[ d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)|} {|\mathbf u\times\mathbf v|} =\frac{|(-1,2,-1)\cdot(1,-1,-1)|}{\sqrt3} =\frac{|-1-2+1|}{\sqrt3} =\frac{2}{\sqrt3}. \]처음의 \(\frac{3}{\sqrt2}\)는 잘못된 답이고, 올바른 거리는 \(\boxed{\frac{2}{\sqrt3}}\)이다. 실제로 두 직선이 만난다고 가정하면
\[ (1+s,s,2)=(t,2,1+t) \]에서 \(s=2\), \(t=3\)이 첫째와 둘째 좌표를 만족하지만 셋째 좌표는 \(2\ne4\)가 되어 교점이 없다. 또한 \(\mathbf u\times\mathbf v\)는 두 방향벡터와 각각 내적이 0이므로 계산한 방향이 공통 수직임도 확인된다.
문자를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 계수와 위치를 바꾼 문제를 새로 풀었다.
\[ M_1:(x,y,z)=(2,-1,0)+r(1,0,2),\qquad M_2:(x,y,z)=(-1,1,3)+q(0,2,1) \]
방향벡터와 두 점을 각각
\[ \mathbf a=(1,0,2),\quad \mathbf b=(0,2,1),\quad \overrightarrow{CD}=(-3,2,3) \]로 두면
\[ \mathbf a\times\mathbf b=(-4,-1,2),\qquad |\mathbf a\times\mathbf b|=\sqrt{21}. \]따라서
\[ d=\frac{|(-3,2,3)\cdot(-4,-1,2)|}{\sqrt{21}} =\frac{|12-2+6|}{\sqrt{21}} =\boxed{\frac{16}{\sqrt{21}}}. \]마지막에는 끝점과 변수의 역할을 다시 확인하고, 계산한 공통 수직 방향 \((-4,-1,2)\)이 두 직선의 방향벡터와 모두 내적 0인지 검산했다. 이 과정을 통해 문자만 바뀐 경우에도 먼저 두 직선의 방향 관계를 판단한 뒤 거리식을 선택하도록 정리했다.