보정동 고2수학과외에서 확인한 그래프 극한의 읽기 오류
보정고등학교 과제와 지필평가를 준비할 때 그래프 문제는 계산량이 적어 보여도, 귀가 후 짧은 시간에 풀다 보면 채운 점과 빈 원을 혼동하기 쉽습니다. 보정동 생활권에서 과제 풀이를 점검하던 중에도 같은 실수가 계산 첫 줄에서 반복되었습니다.
채운 점의 높이를 극한값으로 읽은 첫 줄
다음과 같은 그래프가 있다고 하겠습니다.
x가 2보다 작을 때 그래프가 점 (2, 3)에 가까워지고,
x가 2보다 클 때 그래프가 점 (2, 3)에 가까워집니다.
단, (2, 3)은 빈 원이고, 실제 함수의 값은 채운 점 (2, 1)로 표시되어 있습니다.
이때 학생이 남긴 첫 줄은 다음과 같았습니다.
lim(x→2) f(x) = f(2) = 1
채운 점의 높이 1은 f(2)의 값이므로 함수값으로는 맞습니다. 그러나 극한은 x가 2에 도달했을 때의 함수값이 아니라, x가 2에 가까워질 때 그래프가 접근하는 높이를 묻습니다. 좌우에서 모두 3에 접근하므로
lim(x→2) f(x) = 3
이고, f(2)=1입니다. 따라서 이 함수는 x=2에서 극한값과 함수값이 다르며, 그 점에서 연속이라고 할 수 없습니다.
좌우에서 접근하는 높이를 따로 표시하기
그래프를 보자마자 채운 점의 좌표를 답으로 옮기지 않도록, 풀이 옆에 두 줄을 먼저 적습니다.
x→2⁻일 때 f(x)→3
x→2⁺일 때 f(x)→3
두 값이 같으므로 양쪽 극한은 존재하고 그 값은 3입니다. 그다음에야 그래프의 채운 점을 확인하여 f(2)=1을 따로 기록합니다. 이 순서를 쓰면 극한과 함숫값을 같은 대상으로 읽는 오류가 계산 줄에서 드러납니다.
대입으로 그래프 해석을 점검하는 방법
그래프가 다음과 같이 주어졌다고 하겠습니다.
f(x)=x+1 (x≠2),
f(2)=1
x≠2인 주변에서는 x+1이므로 x가 2에 가까워질 때 함수값은 3에 가까워집니다. 실제로 x=1.99를 대입하면 f(1.99)=2.99이고, x=2.01을 대입하면 f(2.01)=3.01입니다. 따라서 채운 점의 값 1을 극한값으로 읽은 풀이가 그래프 주변의 값과 맞지 않음을 확인할 수 있습니다.
조건 없이 시작하는 새 그래프에서 확인할 것
다음 문항에서는 풀이 순서를 제시하지 않고 그래프만 봅니다. x=−1에서 왼쪽 그래프는 높이 2로 접근하고, 오른쪽 그래프는 높이 4로 접근하며, 채운 점은 (−1, 3)에 있다고 하겠습니다.
이 경우 먼저
lim(x→−1⁻) f(x)=2, lim(x→−1⁺) f(x)=4
를 확인해야 합니다. 좌극한과 우극한이 다르므로
lim(x→−1) f(x)
은 존재하지 않습니다. 채운 점 때문에 f(−1)=3이라고 쓸 수는 있지만, 그것이 양쪽 극한의 값이 되지는 않습니다. 새로운 그래프에서도 채운 점을 먼저 답으로 쓰지 않고 좌우 접근 높이부터 확인했다면, 극한 읽기에서 필요한 판단이 유지된 것입니다.