보정동 고3수학과외: 비스듬한 선분과 최단거리를 구별하는 공간도형 풀이
보정동에서 귀가 후 과제를 처리하는 고3 학생을 지도할 때, 공간에서의 거리 문제는 계산보다 조건의 관계를 먼저 확인하게 한다. 보정고등학교를 비롯해 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 구성고등학교, 청덕고등학교 등을 참고하는 가정에서도 학교별 정보보다 학생의 귀가 시각과 시험 준비 순서를 함께 점검하는 것이 중요하다.
비스듬한 선분을 최단거리로 판단한 첫 오답
점 P(1, 2, 3)에서 평면 α: x+2y+2z=0까지의 거리를 구하는 문제를 살펴보자. 학생은 평면 위의 점 O(0,0,0)를 잡고 다음과 같이 풀었다.
P O의 길이 = √{(1-0)²+(2-0)²+(3-0)²}=√14
따라서 평면 α까지의 최단거리는 √14이다.
이 식은 틀린 식이다. 점 P와 평면 위의 점 O를 잇는 선분은 평면에 비스듬히 놓인 선분일 뿐이며, 최단거리는 평면에 수직인 선분이어야 한다. 학생이 가장 먼저 밑줄을 그어야 할 조건은 “최단거리인 선분은 평면의 법선 방향과 평행하다”이다.
법선벡터와 정사영으로 식을 수정하기
평면 α의 법선벡터는 n=(1,2,2)이고, 법선벡터의 길이는 |n|=3이다. 점 P를 원점 위치벡터로 나타내면 p=(1,2,3)이므로 법선 방향으로의 성분은
p·n=1+4+6=11
이다. 따라서 P에서 평면까지의 정사영 길이, 즉 최단거리는
d=|p·n|/|n|=11/3
이다. 일반적인 평면 ax+by+cz+d=0과 점 (x₀,y₀,z₀) 사이의 거리 공식도 같은 원리로
d=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
가 된다.
발의 좌표와 벡터를 다시 합성해 검산하기
학생은 풀이 중 원 안에 핵심 계수 11/9를 표시했다. 법선 방향으로 이동하는 계수는
t=(p·n)/(n·n)=11/9
이므로 정사영의 발 H는
H=p-tn=(1,2,3)-11/9(1,2,2)=(-2/9,-4/9,5/9)
이다. 실제로 평면에 대입하면
-2/9+2(-4/9)+2(5/9)=0
이므로 H는 평면 위에 있다. 또
PH=H-p=(-11/9,-22/9,-22/9)=-(11/9)(1,2,2)
이어서 PH가 법선벡터와 평행함도 확인된다. 마지막으로
|PH|=√{(11/9)²+(22/9)²+(22/9)²}=11/3
이므로 거리 공식과 좌표 검산 결과가 일치한다. 학생은 이제 해설의 결론을 그대로 옮기지 않고, 틀린 줄 표시, 조건 확인, 식 수정, 역계산의 순서로 풀이를 마무리한다.
평면을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 조건으로 확인했다.
점 Q(2,-1,1)과 평면 β: 2x-y+2z=0 사이의 거리를 구하면 법선벡터는 m=(2,-1,2)이다.
q·m=4+1+2=7, |m|=3이므로 최단거리는
d=7/3
이다. 정사영의 발을 구하면
K=q-(7/9)m=(4/9,-2/9,-5/9)
이고, 평면에 대입하여
2(4/9)-(-2/9)+2(-5/9)=0
을 확인할 수 있다. 또한 QK=-(7/9)(2,-1,2)이므로 수직 방향 조건도 만족한다. 숫자와 평면이 바뀌어도 비스듬한 선분의 길이가 아니라 법선 방향 정사영의 길이를 최단거리로 선택해야 한다.