보정동고1수학과외, 복잡한 함수식은 입력을 새 문자로 바꾸어 읽기
보정동에서 학교 과제와 지필평가 준비를 함께 진행할 때는 함수식의 계산량보다 입력값을 어떻게 정리하는지가 먼저 드러난다. 보정고등학교 과제처럼 식 안에 다른 문자가 들어간 함수 문제에서는 원래 문자와 새 입력 사이의 대응을 적어 두어야 다음 계산이 흔들리지 않는다.
괄호 안의 입력을 새 문자로 지정하는 순간
함수 f(x)=x2-3x+2에 대하여 f(2a-1)을 구한다고 하자. 여기서 함수의 입력은 x가 아니라 2a-1이다. 먼저
새 입력 u=2a-1, 원래 함수의 입력 x=u
라고 대응을 적으면, 함수식의 x 자리에 u를 넣어 f(u)=u2-3u+2로 볼 수 있다. 따라서
f(2a-1)=(2a-1)2-3(2a-1)+2
=4a2-4a+1-6a+3+2=4a2-10a+6
처럼 입력 전체가 함수식에 들어간다. 2a-1을 하나의 덩어리로 취급해야 제곱과 곱셈의 대상이 정확해진다.
치환식만 남기고 대응을 지운 풀이
관찰한 답안에는 f(2a-1)을 적은 다음, 새 문자와 원래 문자의 관계를 메모하지 않은 채 2a2-1로 바로 넘어간 흔적이 있었다. 이 식은 (2a-1)2를 전개한 결과도 아니며, -3(2a-1)의 계산도 반영하지 않는다. 함수의 입력을 숫자 하나처럼 처리하면서 치환 뒤의 구조를 잃은 것이다.
현재 상태는 함수의 값을 구하는 공식 자체를 전혀 모르는 단계라기보다, 복잡한 입력을 만나면 ‘무엇을 무엇으로 바꾸었는지’를 기록하지 않고 다음 계산으로 서두르는 상태에 가깝다. 혼자 풀 때도 u=2a-1을 먼저 쓰는 말이나 짧은 메모가 필요하다.
입력 전체를 유지한 채 계산 줄을 나누기
훈련에서는 다음 순서를 답안에 남긴다.
- u=2a-1로 새 입력을 지정한다.
- f(u)=u2-3u+2에 u를 대입한다.
- (2a-1)2-3(2a-1)+2를 한 줄 유지한다.
- 제곱과 분배법칙을 각각 계산한 뒤 동류항을 정리한다.
이렇게 하면 계산 중 -3(2a-1)의 부호가 빠졌을 때 오류가 시작된 줄을 되돌아갈 수 있다. 특히 치환한 식을 곧바로 전개하지 않고 한 줄 보존하는 것이 이 학생에게 필요한 구체적인 수정 행동이다.
수치가 바뀐 함수에서 먼저 확인할 것
연습 문제를 h(x)=3x2+2x-5, h(b+4)로 바꾸었다. 이번에는 계산 전에 v=b+4를 적고
h(b+4)=3(b+4)2+2(b+4)-5
=3(b2+8b+16)+2b+8-5
=3b2+26b+51
을 얻는다. 원래 식의 x와 새 입력 b+4를 대응시킨 뒤에도 같은 절차를 혼자 시작하는지가 확인 지점이다. 숫자만 대입하는 문제에서 맞힌 결과보다, 첫 줄에 입력 치환과 중간식을 남겼는지가 더 직접적인 증거가 된다.
일주일 뒤 문장제에서 불필요한 정보 걸러내기
일주일 뒤에는 다음과 같은 문장제를 다시 제시한다. “어떤 상품의 가격을 함수 p(x)=x2-4x+9로 나타낼 때, 행사 기간은 7일이고 구매 수량의 입력이 x=3t+1이다. p(3t+1)을 구하여라.” 여기서 행사 기간 7일은 함수식 계산에 사용되지 않는 정보다.
학생이 먼저 w=3t+1을 적고, 행사 기간을 식에 억지로 넣지 않은 채
p(3t+1)=(3t+1)2-4(3t+1)+9
=9t2+6t+1-12t-4+9=9t2-6t+6
까지 중간식을 유지하는지 본다. 계산 결과가 다르면 마지막 줄부터 거꾸로 올라가 (3t+1)2 또는 -4(3t+1)에서 오류가 시작됐는지 스스로 찾아야 한다. 이 과정을 수행하면 복잡한 함수 입력과 문장 속 불필요한 조건을 분리하는 판단이 실제 문제에서도 이어졌는지 확인할 수 있다.