동백동 고2수학과외: 무한대 극한에서 최고차항을 놓친 계산 줄
통학과 방과 후 이동이 끝난 뒤 짧은 자습 시간에 극한 풀이를 확인하다 보면, 답보다 계산 줄에서 오류가 먼저 드러나는 경우가 있다. 용인시 기흥구 동백동의 동백고등학교와 용인백현고등학교 학생을 지도할 때도 무한대에서 분수식의 최고차항을 어떻게 읽는지가 중요한 확인 지점이 된다.
“x²끼리 없어지므로 1”이라고 쓴 순간
다음 극한을 계산한다.
limx→∞ (2x²+x)/(x²−3)
풀이 여백에는 다음과 같은 문장이 남아 있었다.
x²끼리 약분되므로 극한값은 1이다.
그러나 분자와 분모의 최고차항은 단순히 x²와 x²가 아니라 각각 2x²와 x²이다. 계수 2를 함께 비교해야 하므로 이 계산은 최고차항의 계수를 빠뜨린 오답이다.
최고차항을 계수와 함께 분리하기
분자와 분모를 각각 x²으로 나누면
\[ \frac{2x^2+x}{x^2-3} = \frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x^2}} \]
x가 양의 무한대로 갈 때
\[ \frac{1}{x}\to0,\qquad \frac{3}{x^2}\to0 \]
이므로
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x}{x^2-3} = \frac{2+0}{1-0}=2 \]
계산 전에 여백에 분자 최고차항: 2x², 분모 최고차항: x², 차수: 2와 2를 적으면 계수 2를 지우는 실수를 막을 수 있다. 차수가 같을 때는 최고차항의 비를 계산하므로 결과는 2이다.
식의 복원으로 결과를 점검하기
새 식에서는 다음을 확인한다.
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x+1}{x^2+4} \]
최고차항을 기준으로 나누면
\[ \frac{3x^2-5x+1}{x^2+4} = \frac{3-\frac5x+\frac1{x^2}}{1+\frac4{x^2}} \to3 \]
여기서 역으로 식을 복원하면
\[ 3x^2-5x+1 = 3(x^2+4)+(-5x-11) \]
따라서
\[ \frac{3x^2-5x+1}{x^2+4} = 3+\frac{-5x-11}{x^2+4} \]
마지막 분수는 분자의 차수가 1, 분모의 차수가 2이므로 0으로 간다. 원래 식이 3+0으로 복원되는지 확인하면서, 새로운 계수에서도 최고차항의 비가 3이라는 판단을 유지했는지 살핀다.