동백동고1수학과외, 정의역 변화로 치역이 달라지는 함수 판단
함수식만 보고 값을 계산하면 된다고 생각하기 쉽지만, 입력값이 허용된 범위 안에 있는지에 따라 함수의 치역도 달라진다. 동백고등학교와 용인백현고등학교 학생들이 학교 프린트의 함수 문제를 복습할 때도 식의 계산보다 정의역과 치역의 관계를 먼저 확인하는 장면이 필요하다.
대입 전에 빠진 조건을 찾은 사례
함수 f(x)=x²의 정의역이 0≤x≤3일 때 f(-2)를 구하라는 식으로 적힌 문제를 살펴보자. 한 학생은 정의역을 다시 보지 않고
f(-2)=(-2)²=4
라고 답했다. 계산 자체는 맞지만, -2는 정의역 [0,3]에 포함되지 않는다. 따라서 이 조건에서는 f(-2)가 정의되지 않으며, 4를 함수값으로 쓸 수 없다.
같은 식이라도 입력 범위가 바뀌면 치역이 달라진다
식이 f(x)=x²로 같아도 정의역이 모든 실수라면 치역은 y≥0이다. 반면 정의역을 0≤x≤3으로 제한하면 가장 작은 함수값은 f(0)=0, 가장 큰 함수값은 f(3)=9이므로 치역은
{y | 0≤y≤9}
가 된다. 정의역을 -2≤x≤1로 바꾸면 x=0에서 최솟값 0을 얻고, 양 끝의 함수값은 f(-2)=4, f(1)=1이므로 치역은 0≤y≤4이다. 식의 변화가 없어도 입력 범위가 달라지면 가능한 출력 범위가 달라진다는 점을 확인해야 한다.
오답표에 표시할 판단 지점
이 학생의 현재 상태는 제곱 계산은 수행하지만, 계산 전에 정의역을 대조하는 절차가 빠진 상태다. 따라서 오답 원인은 ‘제곱 계산 실수’가 아니라 ‘허용되지 않은 입력값을 함수식에 대입함’으로 기록해야 한다. 별도 표시에는 정의역을 확인한 뒤 치역의 양 끝이나 최솟값·최댓값을 조사했는가를 포함한다.
식보다 먼저 범위를 적는 풀이
다음부터는 문제의 정의역을 식 옆에 먼저 적는다.
정의역: 0≤x≤3
입력값 -2: 정의역에 포함되지 않음
따라서 f(-2)는 정의되지 않음
치역: f(0)≤f(x)≤f(3), 즉 0≤f(x)≤9
이 순서를 지키면 계산 결과 4가 나와도 그것을 곧바로 함수값으로 확정하지 않게 된다. 이후 정의역을 1≤x≤4로 바꾸면 f(1)=1, f(4)=16이므로 치역이 1≤y≤16으로 바뀐다는 것도 같은 방식으로 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 문제로 판단을 확인하기
복습할 때는 원래 문제를 반복하지 않고, 함수는 그대로 둔 채 정의역을 -3≤x≤2로 바꾼다. 학생이 먼저 0이 포함되는지 확인하고, f(0)=0, f(-3)=9, f(2)=4를 비교해 치역을 0≤y≤9로 정리하는지 본다. 또 정의역 밖의 x=4에 대해 f(4)=16이라고 쓰지 않고 ‘정의되지 않음’이라고 판단해야 한다.
방과 후 이동 뒤 확보되는 짧은 자습시간에는 문제 수를 늘리기보다 정의역을 바꾼 한 문제의 풀이 과정을 다시 읽게 한다. 학생이 별도의 표시나 질문 없이 범위 확인부터 시작하고, 새 조건에서도 같은 판단을 스스로 수행했다면 이 내용의 복습 종료 시점을 직접 정할 수 있다.