동백동 고3 수학과외에서 점검한 정사영과 거리의 관계
동백동의 동백고등학교와 용인백현고등학교 학생은 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 공간도형 문제를 풀이했다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교는 참고 생활권으로 구분하고, 학교별 출제경향은 단정하지 않았다.
첫 번째로 틀린 줄 찾기
학생은 점 \(A(1,2,3)\), \(B(5,2,3)\), \(C(1,5,3)\)이 주어졌을 때 선분 \(AB\)를 평면 \(z=0\)에 정사영한 길이를 구하는 과정에서 다음과 같이 적었다.
\(\overrightarrow{AB}=(4,0,0)\), \(|AB|=4\)
평면의 법선벡터가 \(\vec n=(0,0,1)\)이므로 정사영 길이 \(=|AB|\cos 90^\circ=0\)
이 식은 오답이다. \(\overrightarrow{AB}\)는 \(xy\)평면과 평행하므로 평면 위로 정사영해도 길이가 줄지 않는다. 학생은 법선벡터와 선분 방향의 각 \(90^\circ\)를 정사영 방향과 선분의 각으로 잘못 사용했다.
투영 방향을 기준으로 식을 다시 세우기
정사영은 투영되는 평면 자체가 아니라, 선분 방향과 투영 방향 사이의 관계를 확인해야 한다. 이 문제에서 \(AB\)의 양 끝점은 각각
\(A'(1,2,0),\ B'(5,2,0)\)
으로 옮겨지므로
\(\overrightarrow{A'B'}=(4,0,0)\), \(\left|A'B'\right|=4\)
이다. 원래 길이도 \(|AB|=4\)이므로 정사영 길이는 \(4\)이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 선분 방향 \((4,0,0)\)과 투영 방향 \((0,0,-1)\)을 따로 적었다. 두 벡터의 내적은 \(0\)이지만 이는 선분이 투영 방향과 수직이라는 뜻이지 정사영 길이가 \(0\)이라는 뜻이 아니다.
- 원식: \(|AB|\cos 90^\circ=0\)
- 수정식: 투영 방향과 수직인 선분은 평면과 평행하므로 \(\left|A'B'\right|=|AB|=4\)
이후 좌표를 다시 대입해 \(B'-A'=(4,0,0)\)을 확인하고, 실제 선분의 \(x\)좌표 차이도 \(5-1=4\)인지 역검산했다. 원래 거리와 정사영 거리의 관계가 \(\left|A'B'\right|\leq |AB|\)를 만족하는지도 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 점 \(P(2,-1,4)\), \(Q(5,3,0)\)를 \(xy\)평면에 정사영했다. 정사영점은 \(P'(2,-1,0)\), \(Q'(5,3,0)\)이므로
\[ \left|P'Q'\right| =\sqrt{(5-2)^2+\{3-(-1)\}^2} =\sqrt{9+16} =5 \]
원래 선분의 길이는
\[ |PQ|=\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{41} \]
이다. 따라서 정사영 길이 \(5\)는 원래 길이 \(\sqrt{41}\)보다 작다. 또한 선분 방향 \((3,4,-4)\)의 \(xy\)평면 위 성분이 \((3,4,0)\)이므로, 투영 방향에 따른 코사인 관계는
\[ \left|P'Q'\right|=|PQ|\cos\theta =\sqrt{41}\cdot\frac{5}{\sqrt{41}}=5 \]
로 확인된다. 같은 계산을 반복하지 않고, 투영 방향과 평면 위 성분을 먼저 구한 뒤 좌표와 코사인 식을 서로 대조하는 방식으로 독립 검증을 마쳤다.