구갈동고2수학과외, 무한대에서 최고차항을 적용하는 조건부터 확인하기
구갈동의 성지고등학교와 기흥구 내 신갈고등학교·기흥고등학교·보정고등학교·구성고등학교 등에서 고2 수학을 준비할 때, 귀가 후 풀이 시간을 짧게 쓰더라도 극한의 근거를 식으로 남기는 습관이 필요하다. 특히 x가 무한대로 갈 때 최고차항만 보는 과정은 방향과 식의 구조를 함께 확인해야 한다.
“x²을 지우면 1”이라고 쓴 풀이의 문제
다음 식을 살펴보자.
limx→∞ (2x²+x)/(x²−3)
풀이 여백에 x→∞라는 접근 방향을 쓰지 않은 채, 학생이 x²만 보고
x²/x² = 1
이라고 적었다면 최고차항의 계수 2를 빠뜨린 것이다. 분자와 분모의 최고차항은 각각 2x²와 x²이므로 극한은 계수의 비인 2가 되어야 한다.
다만 “최고차항만 남긴다”는 말을 식의 일부를 임의로 지운다는 뜻으로 이해해서는 안 된다. 원래 식을 x²으로 나누면
(2x²+x)/(x²−3) = (2+1/x)/(1−3/x²)
이고, x→∞에서 1/x→0, 3/x²→0이므로
limx→∞ (2+1/x)/(1−3/x²) = 2/1 = 2
이다. 분모 x²−3은 x가 충분히 큰 범위에서 0이 아니므로 이 변형도 극한 계산에 사용할 수 있다.
대입값은 극한값이 아니라 식을 점검하는 도구
학생이 얻은 1이 원래 식과 맞는지 x=10을 대입해 보면
(2·10²+10)/(10²−3) = 210/97 ≈ 2.165
로 1과 큰 차이가 난다. 물론 x=10에서의 값만으로 극한값을 결정할 수는 없다. 이 대입은 최고차항의 계수를 빠뜨려 원래 식의 구조가 보존되지 않았음을 확인하는 과정이다.
답안에는 먼저 x→∞를 적고, 분자와 분모를 각각 x²으로 나눈 뒤, 남은 항의 극한을 계산하도록 한다. 차수가 같은 유리함수에서는 최고차항 계수의 비가 나타나며, 분자의 차수가 더 작거나 큰 경우에는 결과가 달라지므로 차수 비교도 함께 해야 한다.
계수가 바뀐 세 후보를 모두 검산하기
다음과 같이 a의 값이 여러 개 주어진 문제로 확인한다.
a∈{−2, 0, 3}일 때, limx→∞ (ax²+x)/(x²+1)의 값을 각각 구하여라.
분자와 분모를 x²으로 나누면
(a+1/x)/(1+1/x²)
이므로 각 후보를 빠뜨리지 않고 대입하면 다음과 같다.
- a=−2: 극한은 −2
- a=0: 극한은 0
- a=3: 극한은 3
이때 세 답을 한꺼번에 “최고차항의 극한은 1”이라고 처리하면 안 된다. a가 −2일 때는 분자의 최고차항이 −2x²이고, a=0일 때는 x²항이 사라져 실제 분자의 차수가 낮아진다. 후보마다 최고차항의 존재와 계수를 확인해야 원래 식이 유지된다.
마지막으로 각 결과를 x=100에 대입해 방향을 점검할 수 있다. a=−2이면 (−20000+100)/10001은 −2에 가까워지고, a=0이면 100/10001은 0에 가까워지며, a=3이면 30100/10001은 3에 가까워진다. 숫자 확인에 그치지 않고 x→∞라는 방향, 최고차항의 계수, 차수 변화를 함께 적었는지가 풀이의 기준이다.