구갈동 고3 수학과외에서 점검한 정사영 판단
구갈동의 성지고등학교와 같은 기흥구 내 신갈고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교를 오가는 고3 학생은 귀가 시각과 과제량에 따라 시험 준비 순서를 조정해야 한다. 이 학생은 계산보다 그림에서 직선과 평면의 관계를 먼저 판단하는 과정에서 자주 멈췄다.
원래 선분과 정사영을 같게 둔 오류
공간에서 선분 \(AB=10\)이 평면 \(\alpha\)와 이루는 각이 \(60^\circ\)일 때, \(AB\)의 평면 \(\alpha\) 위 정사영의 길이를 구하는 문제를 풀었다.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(\overline{AB}\)의 정사영 길이 \(=AB=10\)
이 식은 틀렸다. 선분이 평면에 수직으로 놓인 경우에만 정사영 길이가 \(0\)이 되고, 선분이 평면 위에 놓인 경우에만 원래 길이와 정사영 길이가 같다. 선분과 평면이 이루는 각이 \(\theta\)이면 정사영 길이는 원래 길이에 \(\cos\theta\)를 곱해야 한다.
따라서 이 문제에서는
\[ \left|\operatorname{proj}_{\alpha}\overrightarrow{AB}\right| =|AB|\cos60^\circ =10\cdot\frac12 =5 \]
이다. 공간에서 선분을 평면 위로 수직으로 내렸을 때 생기는 그림자의 길이가 정사영이므로, 기울어진 정도가 클수록 정사영은 원래 선분보다 짧아진다.
그림의 위치관계를 먼저 확정하는 연습
학생은 계산 전에 다음 세 가지를 표시하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
- 정사영을 내리는 대상이 선분인지, 점인지 확인한다.
- 정사영이 놓이는 직선 또는 평면을 표시한다.
- 주어진 각이 선분과 평면 사이의 각인지, 선분과 평면의 법선 사이의 각인지 구분한다.
특히 선분과 평면의 각이 \(60^\circ\)라면 정사영에 사용하는 각은 그대로 \(60^\circ\)이다. 반면 선분과 평면의 법선이 이루는 각이 \(60^\circ\)라면 평면과 이루는 각은 \(30^\circ\)이므로 정사영 길이는 \(10\cos30^\circ=5\sqrt3\)이 된다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, “원래 길이와 정사영 길이가 같으려면 선분이 평면과 평행해야 한다”는 조건을 확인했다. 이후 \(10\cos60^\circ\)로 식을 수정하고, \(5\le10\)인지 비교하여 정사영이 원래 길이보다 길어지는 오류가 없는지 검산했다.
배치를 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 선분 \(CD\)의 길이가 \(8\)이고, \(CD\)와 평면 \(\beta\)의 법선이 이루는 각이 \(30^\circ\)라고 하였다. 이때 \(CD\)와 평면 \(\beta\)가 이루는 각은
\[ 90^\circ-30^\circ=60^\circ \]
이므로 평면 위 정사영의 길이는
\[ 8\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4 \]
이다. 학생은 법선과의 각을 곧바로 \(\cos\)에 넣지 않고 평면과의 각으로 바꾼 뒤 계산했다. 마지막으로 정사영 길이 \(4\)가 원래 길이 \(8\)보다 작다는 사실과, 법선과 이루는 각이 \(30^\circ\)일 때 선분이 평면과 완전히 평행하지 않다는 점을 함께 확인했다.