구갈동고1수학과외: 한 점의 좌표로 함수의 미지계수 정하기
성지고등학교 과제와 지필평가 준비가 겹치는 시기에는 함수식에 점의 좌표를 대입하는 한 줄이 풀이의 출발점이 된다. 구갈동고1수학과외 학습에서는 답을 고치는 데서 끝내지 않고, 어떤 계수를 정하기 위해 좌표를 사용했는지 기록하게 하는 것이 중요하다.
점의 좌표가 식으로 바뀌는 순간
함수 f(x)=a|x-2|+4의 그래프가 점 (6, 12)를 지난다고 하자. 이때 점의 첫 번째 좌표는 x값 6, 두 번째 좌표는 함수값 12이므로 다음처럼 대입한다.
f(6)=12
a|6-2|+4=12
4a+4=12
4a=8, a=2
여기서 점을 식에 넣는 목적은 새로운 함수값을 구하는 것이 아니라, 아직 정해지지 않은 계수 a를 결정하는 것이다. 또한 |6-2|=4를 먼저 계산한 뒤 계수 계산으로 넘어가야 한다.
고친 줄만 남고 판단은 사라진 답안
관찰한 답안에는 점 (6, 12)를 보고도 풀이 시작 부분에 대입 기준을 적지 않은 채 계산이 이어졌다. 한 줄에는 a(6-2)+4=12가 적혀 있었고, 틀린 줄을 지운 뒤에는 a|6-2|+4=12로 고쳤지만 왜 이 식을 세웠는지는 남아 있지 않았다.
이 오류는 절댓값을 생략한 부호 처리에서 발생했다. 이 문제에서는 6-2가 양수라서 결과가 우연히 같지만, x값이 1이라면 |1-2|=1이고 1-2=-1이므로 두 표현을 같은 방식으로 취급할 수 없다. 식을 고친 사실만으로는 미지계수 결정 기준이 안정되었다고 보기 어렵다.
풀이 앞뒤에 남기는 한 줄
풀이를 시작하기 전 답안 위에 “주어진 점의 좌표를 함수식에 대입하여 미지계수 a를 정한다.”라고 적는다. 계산이 끝난 뒤에는 실제 대입식 f(6)=12를 다시 확인한다. 이 두 기록은 단순한 문장 암기가 아니라 점의 좌표가 함수식의 입력과 출력으로 각각 들어갔는지 점검하는 표시다.
이후 부호와 절댓값 계산을 분리한다.
- 먼저 x값을 식에 대입한다: |6-2|
- 절댓값을 계산한다: |4|=4
- 계수를 결정한다: 4a+4=12
- 원래 함수에 넣어 확인한다: f(6)=2|4|+4=12
조건이 바뀐 식에서 다시 확인하기
이번에는 함수가 g(x)=b|x+3|-5이고, 그래프가 점 (-1, 7)을 지난다고 제시한다. 먼저 점의 조건을 g(-1)=7로 바꾼다.
b|-1+3|-5=7
2b-5=7
2b=12, b=6
새 문제에서는 x값이 음수이고 절댓값 안의 결과는 양수다. 따라서 -1+3=2를 계산하기 전후에 부호를 따로 살펴야 한다. 마지막으로 g(-1)=6|-1+3|-5=12-5=7이므로 점의 조건도 만족한다.
귀가 후 짧은 풀이에서도 남겨야 할 흔적
구갈동에서 귀가한 뒤 과제량이 많은 날에는 긴 오답 정리보다 문제 옆에 대입 목적과 계산 순서를 남기는 방식이 적절하다. 학부모는 정답만 확인하기보다 답안에 점의 좌표를 함수식에 대입한 식, 절댓값 계산, 계수 검산이 차례로 나타나는지 살펴볼 수 있다.
식의 모양과 숫자가 바뀌어도 학생이 먼저 점을 함수값 조건으로 바꾸고, 부호와 절댓값을 분리한 뒤 계수를 구한다면 한 문제의 수정이 아니라 같은 판단을 새로운 함수에 적용한 것으로 확인할 수 있다.