시흥동고2수학과외

시흥동고2수학과외에서 로그 단원을 점검할 때는 답보다 계산 줄의 순서를 먼저 살핀다. 문일고등학교, 금천고등학교, 동일여자고등학교 등 시흥동 소재 학교와 금천구 내 참고 학교인 독산고등학교는 학교별 주간 일정과 평가 방식이 다를 수 있지만, 로그법칙을 섞어 쓰는 문제에서는 공통적으로 ‘어떤 규칙을 적용했는가’를 식으로 남겨야 한다.

밑이 다른 로그를 곧바로 합친 계산

다음 식의 풀이에서 오류가 드러났다.

log₂3 + log₄5

학생은 법칙을 적지 않고 곧바로 log₂15라고 썼다. 곱셈법칙

log_aM + log_aN = log_a(MN)

은 밑이 같은 경우에만 사용할 수 있다. 여기서는 밑이 2와 4로 다르므로 이 식을 바로 log₂(3×5)로 합칠 수 없다.

먼저 밑을 통일하면

log₄5 = log₂5 ÷ log₂4 = ¹⁄₂log₂5

이므로

log₂3 + log₄5
= log₂3 + ¹⁄₂log₂5
= log₂3 + log₂√5
= log₂(3√5)

따라서 학생의 log₂15는 밑변환과 곱셈법칙을 구분하지 않은 결과다. 로그의 진수는 모두 양수이고, 밑 2와 4도 0보다 크며 1이 아니므로 위 계산은 정의 조건에도 맞는다.

법칙을 먼저 한 줄로 고정하는 연습

여러 법칙이 섞인 식에서는 계산값을 서둘러 구하지 않고, 각 줄의 규칙을 표시한다.

예를 들어

log₂8 + log₂5 − log₂10

은 밑이 모두 2이므로

= log₂(8×5) − log₂10
= log₂⁴⁰⁄₁₀
= log₂4
= 2

처럼 곱셈법칙, 나눗셈법칙, 값 계산의 순서를 남긴다. 답을 낸 뒤에는 사용한 규칙을 거꾸로 적용한다.

log₂4 = log₂(40÷10)
= log₂40 − log₂10
= log₂(8×5) − log₂10
= log₂8 + log₂5 − log₂10

이처럼 마지막 식에서 원래 식이 복원되면 곱셈과 나눗셈 법칙을 일관되게 사용한 것이다. 반대로 밑이 다른 항을 억지로 합치면 역으로 펼쳤을 때 원래 식이 나오지 않는다.

기호가 바뀌어도 풀이 순서를 세우는지 확인

숫자 대신 다른 기호를 사용한 문항으로 다음 식을 제시한다.

log₃27 + log₉4 − log₃6

먼저 밑을 3으로 맞추면

log₉4 = ¹⁄₂log₃4 = log₃2

따라서

log₃27 + log₃2 − log₃6
= log₃(27×2÷6)
= log₃9
= 2

기호를 바꾸어 u와 v를 사용한 식에서도 먼저 “밑 통일 → 법칙 표시 → 계산 → 역검산”의 순서를 스스로 세우는지 확인한다. 최종 답만 맞히는 것이 아니라, 밑이 같은 항끼리만 결합했는지와 역변환으로 처음 식이 복원되는지를 답안에서 함께 살핀다.