시흥동고3수학과외

로그를 취한 첫 줄에서 시작하는 미분 점검

시흥동에는 문일고등학교, 금천고등학교, 동일여자고등학교, 국립전통예술고등학교, 서울매그넷고등학교가 있고, 같은 금천구의 독산고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다르므로, 이번 학습에서는 일정한 풀이 점검 절차를 만드는 데 초점을 두었다.

해설과 달라진 최초의 줄 찾기

학생은 다음 함수를 로그미분으로 풀었다.

y=(x²+1)^{sin x}

밑이 항상 양수이므로 정의역은 모든 실수이고, 함수값도 양수이다. 따라서 양변에 로그를 취하면

ln y=sin x ln(x²+1)

까지는 옳다. 그러나 학생의 다음 줄은

오답: y'=cos x ln(x²+1)+sin x · 2x{x²+1}

이다. 이 식은 ln y를 미분한 결과를 곧바로 y'라고 적은 것이므로 틀렸다. 왼쪽을 미분하면 y'/y가 되어야 한다. 로그를 취한 뒤 y'/y 항을 빠뜨린 것이 해설과 달라진 최초의 오류다.

두 줄 비교로 식을 고치기

• 학생의 줄: y'=cos x ln(x²+1)+sin x · 2x{x²+1}
• 수정할 줄: y'y=cos x ln(x²+1)+sin x · 2x{x²+1}

이제 양변에 y=(x²+1)^{sin x}를 곱하면 정확한 도함수는

y'=(x²+1)^{sin x}[cos x ln(x²+1)+2x sin x{x²+1}]

이다. 이때 안쪽 함수 x²+1의 도함수 2x도 함께 확인해야 한다. 단순히 빠진 기호만 고치는 것이 아니라, 정의역과 밑의 양수 조건을 다시 확인한 뒤 원래 식을 대입해 역검산한다.

값 대입과 그래프로 확인하기

x=0을 대입하면 원래 함수의 값은 y(0)=1이고, 수정된 식에서

y'(0)=1[1·ln1+0]=0

이 된다. 원함수는 x=0에서 좌우 변화율이 0이므로 계산 결과와도 맞는다. 반면 학생의 오답식은 이 점에서는 우연히 0이지만, x=1에서는 cos1·ln2+2sin1/2만 산출하여 실제 도함수에서 빠진 함수값 y(1)=2^sin1을 반영하지 못한다. 그래프의 접선 기울기와 계산값을 함께 비교하면 이 누락을 확인할 수 있다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 절차를 다음 문제에 적용했다.

y=(3x-1)^x2

이번에는 밑이 양수여야 하므로 정의역은 x>1/3이다. 로그를 취하면

ln y=x²ln(3x-1)

이고, 미분하면

y'y=2x ln(3x-1)+x²·3{3x-1}

따라서

y'=(3x-1)^x2[2x ln(3x-1)+3x²{3x-1}]

이다. x=1에서 y=2이고, y'=2[2ln2+3/2]=4ln2+3이다. 새 밑의 정의역, 계수 3, 그리고 y'/y의 존재를 모두 확인했으므로 이전 오답을 반복하지 않았는지 독립적으로 검증할 수 있다.