시흥동고1수학과외

시흥동고1수학과외, 복합 인수분해의 멈춘 지점을 식으로 남기기

복합 인수분해에서는 답만 맞히는 것보다 어느 단계까지 처리했는지를 기록하는 일이 중요하다. 시흥동의 고등학교별 내신 일정과 과제량이 다른 상황에서는 짧은 시간에 여러 문제를 풀다가 계산 결과만 남기기 쉽지만, 중간식이 없으면 오류가 공통인수에서 생겼는지, 묶어내기에서 생겼는지 구분하기 어렵다.

숫자부터 계산하면서 사라진 풀이의 위치

다음 식을 인수분해해 보자.

6x³ - 9x² - 24x + 36

이 식은 먼저 전체 항의 공통인수 3을 묶은 뒤, 항을 두 묶음으로 나누어야 한다.

한 학생은 문제에서 무엇을 구해야 하는지와 주어진 식을 구분해 적지 않고 계수부터 계산했다. 답안에는 처음부터 3(2x - 3)(x - 2)(x + 2)만 적혀 있었고, 중간에 어디에서 멈췄는지 표시가 없었다. 결과는 우연히 맞았지만, 비슷한 문제에서 틀린 경우에는 오류 위치를 찾을 수 없는 상태였다.

복합 인수분해를 두 번의 판단으로 나누기

첫 번째 멈춤 지점은 공통인수이다.

6x³ - 9x² - 24x + 36
= 3(2x³ - 3x² - 8x + 12)

두 번째 멈춤 지점은 묶음 사이의 공통인수이다.

2x³ - 3x² - 8x + 12
= (2x³ - 3x²) + (-8x + 12)
= x²(2x - 3) - 4(2x - 3)
= (2x - 3)(x² - 4)
= (2x - 3)(x - 2)(x + 2)

따라서 최종 결과는

3(2x - 3)(x - 2)(x + 2)

이다. 만약 학생이 x²(2x - 3) - 4(2x + 3)처럼 적었다면 오류 위치는 두 번째 묶음의 부호 처리 단계다. 실제로 -4(2x + 3)은 -8x - 12가 되므로 원래의 -8x + 12와 일치하지 않는다.

답안에 남길 ‘중단 표식’

풀이를 마칠 때마다 식의 오른쪽에 짧은 표식을 붙이게 한다.

• 공통인수 단계: ① 3을 묶음
• 항을 묶는 단계: ② (앞의 두 항)+(뒤의 두 항)
• 같은 이항식 확인: ③ 2x - 3 반복
• 차의 제곱 처리: ④ x² - 4

학생이 “①에서 3을 묶은 뒤 ②의 묶음에서 부호를 확인하지 않았다”라고 말한 후 계산을 이어 가게 한다. 말로만 원인을 설명하는 데 그치지 않고, 실제 답안의 해당 줄에 동그라미를 치고 그 줄을 다시 정확히 쓰게 해야 한다.

시흥동 학교 일정 속 짧은 점검 방식

문일고등학교, 금천고등학교, 동일여자고등학교, 국립전통예술고등학교, 서울매그넷고등학교처럼 시흥동 안에서도 학교와 주간 일정이 다르므로 긴 복습 시간을 전제로 하기보다 한 문제의 중간식을 확인하는 방식이 적절하다. 같은 금천구의 독산고등학교는 참고 학교일 뿐 시흥동 소재 학교로 구분하지 않으며, 학교별 출제 경향을 임의로 단정하지 않는다.

귀가 후 풀이한 복합 인수분해 한 문제에서 최종 답만 가리지 말고, 공통인수 단계와 묶어내기 단계를 각각 표시한다. 틀린 문제라면 “계산 실수”라고 뭉뚱그리지 않고 ① 공통인수, ② 항의 묶음, ③ 공통 이항식, ④ 차의 제곱 중 어디에서 멈췄는지 적는다.

배치와 조건을 바꾼 확인 문제

시험 후 처음 보는 다음 식을 제시한다.

4y³ + 10y² - 16y - 40

학생이 먼저 2를 묶고, 다음과 같이 오류 위치를 남기는지 본다.

4y³ + 10y² - 16y - 40
= 2(2y³ + 5y² - 8y - 20)
= 2{y²(2y + 5) - 4(2y + 5)}
= 2(2y + 5)(y - 2)(y + 2)

이때 괄호 안의 항 배치를 바꾸어 (2y³ - 8y) + (5y² - 20)으로 제시해도 같은 공통 이항식 2y + 5를 추적해야 한다. 문장제에 전개도, 마주 보는 면, 이웃한 면처럼 인수분해와 관계없는 정보가 섞여 있다면 그 정보를 계산에 끌어오지 않고 식과 구할 대상을 먼저 골라내는지도 함께 확인한다. 최종 판단은 답의 일치뿐 아니라 학생이 실제로 멈춘 단계를 표시하고 설명했는지로 한다.