독산동고2수학과외

독산동고2수학과외, 로그법칙을 쓰기 전 밑과 진수부터 판별하기

독산고등학교를 비롯해 금천구의 고2 수학 학습에서는 학교 프린트와 시험 문제에 여러 로그법칙이 한 식 안에 섞여 나오는 경우를 만난다. 독산동정훈단지나 독산주공13단지에서 통학한 뒤 제한된 시간에 문제를 풀다 보면, 익숙한 덧셈식을 보자마자 로그를 하나로 합치는 풀이가 먼저 나올 수 있다. 그러나 로그법칙은 밑이 같을 때만 바로 적용된다.

밑이 다르면 덧셈 법칙을 바로 적용할 수 없다

다음 식을 계산해 보자.

log₂3 + log₄5

풀이 과정에서

log₂3 + log₄5 = log₂(3×5) = log₂15

라고 적었다면, 곱의 로그 법칙을 적용한 위치가 잘못되었다. log_aM + log_aN = log_a(MN)은 두 로그의 밑이 같을 때만 성립한다. 여기서는 밑이 2와 4로 다르다.

먼저 밑변환을 사용하면

log₄5 = log₂5 / log₂4 = 1/2 log₂5

이므로

log₂3 + log₄5
= log₂3 + 1/2 log₂5
= log₂3 + log₂√5
= log₂(3√5)

가 된다. 밑변환 뒤에는 두 로그의 밑이 모두 2가 되었으므로 마지막 곱의 법칙을 사용할 수 있다.

계산 전에 조건을 식 옆에 남기는 이유

로그의 기본 조건은 밑에 대해 a>0, a≠1, 진수에 대해 M>0이다. 위 식에서는 밑 2와 4가 모두 0보다 크고 1이 아니며, 진수 3과 5도 양수이므로 식이 정의된다. 변환된 √5와 3√5 역시 양수다.

풀이를 다시 할 때는 정답을 지우고 처음부터 베끼지 않는다. 잘못된 줄 위에 다음과 같이 오류 원인을 먼저 적는다.

“밑이 2와 4로 다르므로 곱의 로그 법칙을 바로 사용할 수 없다.”

그다음 해당 단계만

log₄5 = 1/2 log₂5

로 고친다. 이렇게 하면 답만 외우는 대신, 밑이 같은지 확인한 뒤 밑변환을 선택하는 순서가 답안에 남는다.

조건이 바뀐 로그식에서 확인한 판단

하루 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.

log₃2 + log₉7

이번에는 밑 3과 9가 다르다는 사실을 먼저 표시해야 한다.

log₉7 = 1/2 log₃7

이므로

log₃2 + log₉7
= log₃2 + 1/2 log₃7
= log₃(2√7)

가 정답이다. 이때 밑의 일치 여부, 밑변환 계수 1/2, 진수의 양수 조건을 스스로 적었다면 숫자가 달라져도 로그법칙의 성립 범위를 판단하며 풀이한 것이다.