독산동고3수학과외

독산동 고3수학과외에서 다룬 로그미분법의 출발점

독산동에서 통학과 과제가 함께 늘어난 고3 학생은 계산 속도보다 함수의 정의역과 밑·지수의 관계를 먼저 확인하는 연습이 필요하다. 독산고등학교를 중심으로 공부하되, 같은 금천구의 문일고등학교·금천고등학교·동일여자고등학교·국립전통예술고등학교는 독산동 소재 학교와 구분해 참고 생활권으로만 살폈다.

곱처럼 보이는 식에서 빠뜨린 정의역

학생은 다음 함수를 미분하며 답안에

y=x^x → y'=x·x^x-1

라고 적었다. 이 식은 밑이 x이고 지수가 x인 경우를 보통의 거듭제곱 함수처럼 처리한 오답이다. xⁿ에서 n이 상수일 때만 nx^n-1을 바로 적용할 수 있는데, 여기서는 밑과 지수가 모두 x로 변한다.

먼저 실수 범위에서 로그를 취하려면 x>0이어야 한다. 이 조건을 고정하고 양변에 로그를 취하면

ln y=ln(x^x)=x ln x

이다. 양변을 미분하면

y'/y=ln x+1

이므로 원래 함수 y=x^x를 다시 곱해

y'=x^x(ln x+1),   x>0

을 얻는다. 예를 들어 x=1에서는 실제 함수값이 1이고 도함수도 1이므로, 오답식 x·x^x-1 역시 1이지만 한 점에서 우연히 일치할 뿐이다. x=2에서는 정확한 값이 4(ln2+1)인 반면 오답은 4이므로 두 식이 다르다.

틀린 줄을 표시하고 식을 다시 대조한 과정

• 틀린 줄 표시: y'=x·x^x-1에서 지수를 상수로 취급한 부분에 표시한다.
• 조건 확인: 로그미분 전 y>0, 따라서 이 실수 함수에서는 x>0임을 적는다.
• 변수 관계 확인: 밑 x와 지수 x가 모두 변하므로 ln y=x ln x로 바꾼다.
• 식 수정: y'/y=ln x+1에서 y'=x^x(ln x+1)으로 복원한다.
• 검산: x=2를 대입해 정확한 식과 오답식이 각각 4(ln2+1), 4가 됨을 비교하고, 그래프 계산기로 x>0 구간의 기울기 차이도 확인한다.

밑과 지수를 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수로 확인했다.

y=(2x+1)^x2

실수 로그미분을 위해 2x+1>0, 즉 x>-1/2를 먼저 기록한다. 학생은 해설을 보지 않고

ln y=x²ln(2x+1)

에서 출발해 후보식을 직접 정리했다. 올바른 결과는

y'=(2x+1)^{x2[2x ln(2x+1)+2x2/(2x+1)]}

이다. 밑의 미분항 2/(2x+1)을 빠뜨린 후보와 지수를 상수처럼 처리한 후보를 x=1에 대입해 제거하면서, 로그미분에서는 계산보다 정의역과 합성 구조를 먼저 고정해야 함을 확인했다.