독산동고1수학과외

독산동고1수학과외, 분수 계수식은 통분 뒤 인수분해하기

독산고등학교 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 짧은 시간 안에 식을 정리하려는 행동이 자주 나타난다. 독산동에서 통학 후 학교 프린트를 복습하는 과정에서도 분수 계수식을 보자마자 통분과 동류항 정리를 한 줄에 처리하면, 인수분해에 들어가기 전부터 식의 구조가 달라질 수 있다.

인수분해 전에 사라진 중간식

예를 들어 다음 식을 정리한다고 하자.

−¹⁄₂x² + ⁵⁄₆x − ¹⁄₃

학생은 공통분모 6을 표시하지 않은 채 계수와 문자항을 한 번에 바꾸어 −(x²−5x+2)라고 적었다. 그러나 각 항에 6을 곱해 확인하면 정확한 식은 다음과 같다.

6(−¹⁄₂x² + ⁵⁄₆x − ¹⁄₃) = −3x²+5x−2

따라서 원래 식은 −¹⁄₆(3x²−5x+2)이고, 괄호 안은 (3x−2)(x−1)로 인수분해된다.

통분과 동류항 정리를 두 줄로 분리하기

이 문제에서 먼저 해야 할 일은 인수분해가 아니라 공통분모를 이용해 계수를 정리하는 것이다.

−¹⁄₂x² + ⁵⁄₆x − ¹⁄₃

= ¹⁄₆(−3x²+5x−2)

그다음 부호를 괄호 밖으로 꺼내면

= −¹⁄₆(3x²−5x+2)

3x²−5x+2에서 곱이 6이고 합이 −5인 두 수는 −3과 −2이다. 그러므로

3x²−5x+2 = 3x²−3x−2x+2 = (3x−2)(x−1)

통분한 줄과 동류항을 묶어 인수분해하는 줄을 나누면, 분수 계수의 변화와 괄호 안 다항식의 변화를 각각 확인할 수 있다.

부호와 절댓값을 따로 읽는 짧은 점검

분수 계산이 포함된 식에서는 부호와 수의 크기를 한꺼번에 처리하지 않도록 한다. 위 식의 계수는 절댓값 기준으로 1/2, 5/6, 1/3이고, 부호는 각각 음수, 양수, 음수이다. 공통분모 6으로 바꾸면 절댓값은 3, 5, 2가 되며 부호는 그대로 유지된다.

따라서 학생의 풀이 순서는 다음처럼 고정한다.

• 각 분수 계수의 부호와 절댓값을 따로 표시한다.
• 공통분모를 정해 한 줄에서 계수만 정리한다.
• 새로 얻은 다항식에서 부호를 확인한 뒤 인수분해한다.

이 과정을 시작할 때 식 옆에 ‘통분 → 정리 → 인수분해’라고 직접 적으면, 공통분모 표시 없이 곧바로 괄호를 만드는 행동을 줄일 수 있다.

수치가 바뀌어도 같은 순서를 지키는가

훈련 뒤에는 다음 식을 제시한다.

³⁄₄y² − ⁷⁄₈y + ¹⁄₂

공통분모 8을 먼저 사용하면

¹⁄₈(6y²−7y+4)

가 된다. 여기서 6y²−7y+4는 정수 계수 두 일차식으로 인수분해되지 않으므로, 억지로 인수분해하지 않고 통분 결과에서 멈추어야 한다. 이때도 부호와 절댓값을 먼저 구분했는지, 공통분모를 적은 뒤 계수를 바꾸었는지를 확인한다.

새 식에서 학생이 별도의 지시 없이 공통분모 8을 표시하고, 계수의 부호와 절댓값을 따로 정리한 뒤 인수분해 가능 여부까지 판단한다면 분수 계수식의 처리 순서를 스스로 조정한 것으로 볼 수 있다.