가산동중2수학과외, 확률의 분모를 정확히 정하는 공부
확률 문제를 풀 때 정답은 맞는데 풀이를 설명하지 못하거나, 문제에 나온 숫자를 모두 분모에 넣는 학생이 있다. 가산동에서 중2 수학을 지도할 때는 문제 수보다 먼저 ‘전체 경우’를 무엇으로 정했는지 확인한다. 같은 금천구 안에서도 가산디지털단지와 주거지 사이의 이동 시간, 구립가산도서관 이용 여부, 학교와 집의 거리 등에 따라 공부 가능한 시간이 다르므로 모든 학생에게 주말 누적복습만 요구하지 않는다. 확률 단원에서는 짧은 시간에도 한 문제의 경우를 표와 수형도로 재구성하는 훈련이 효과적이다.
숫자가 보인다고 모두 분모가 되지는 않는다
학생은 문제를 읽으며 등장하는 숫자에 표시부터 한다. 빨간 공 3개, 파란 공 2개, 두 번 뽑기라는 정보를 보면 3과 2를 그대로 곱하거나 더한 뒤, 전체 숫자를 분모로 정하는 식이다. 문제에서 요구하는 사건과 직접 연결되지 않은 수까지 식에 넣으면서 계산은 진행하지만, 어떤 경우를 하나의 결과로 세었는지는 설명하지 못한다.
예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있고, 공 하나를 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률을 묻는다면 전체 공의 수는 5, 원하는 경우는 2이므로 확률은 2/5이다. 그러나 공을 두 번 꺼내는 문제라면 꺼낸 뒤 다시 넣는지에 따라 전체 경우가 달라진다. 다시 넣는다면 빨간색과 파란색의 선택이 매번 2가지와 3가지로 유지되고, 다시 넣지 않는다면 두 번째 선택의 수가 바뀐다. 조건을 확인하지 않고 분모를 정하면 계산이 맞아 보이어도 문제의 상황과 어긋난다.
가산동 중2 학생에게 나타난 실제 장면
한 학생은 학교 프린트의 ‘주머니에서 공을 두 번 꺼낼 때 모두 빨간 공일 확률’을 풀며 빨간 공 2개와 파란 공 3개를 모두 더한 5를 분모로 두었다. 첫 번째 확률을 2/5로 쓴 뒤 두 번째에도 2/5를 써서 4/25라고 답했다. 하지만 문제에는 ‘꺼낸 공을 다시 넣지 않는다’고 되어 있었다. 첫 번째에 빨간 공을 꺼내면 남은 빨간 공은 1개, 전체 공은 4개이므로 두 번째 확률은 1/4이다. 따라서 두 번 모두 빨간 공일 확률은 2/5×1/4=1/10이다.
학생은 답지를 본 뒤에는 “아, 분모가 4였네”라고 말했지만 다음 날 첫 줄을 다시 쓰지 못했다. 원인은 단순한 곱셈 실수가 아니었다. 확률의 분모를 무조건 처음 보이는 전체 숫자로 정했고, 꺼낸 뒤 상황이 변하는지 확인하지 않았다. 문제 수를 많이 푼 날을 개념이 안정된 날로 판단했기 때문에 같은 오류가 여러 문항에 반복된 것도 놓치고 있었다.
풀이 전에 고정하는 세 가지 표시
먼저 문제에서 구할 사건에 동그라미를 친다. ‘모두 빨간색’, ‘적어도 한 번 파란색’, ‘합이 짝수’처럼 조건을 짧게 바꾸어 적는다. 다음에는 전체 경우를 세는 방법을 정한다. 가능한 결과를 직접 나열할 수 있으면 표를 만들고, 선택이 연속으로 이어지면 수형도를 그린다. 마지막으로 공을 다시 넣는지, 순서를 구별하는지, 같은 결과를 중복해 세고 있지 않은지 조건 옆에 표시한다.
예를 들어 동전과 주사위를 한 번씩 던질 때 결과의 수는 동전 2가지와 주사위 6가지를 곱해 12가지이다. 반면 주사위를 두 번 던져 합이 7이 되는 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)처럼 순서를 구별해 6가지로 센다. ‘3과 4’를 한 경우로만 세면 경우를 누락하게 된다. 학생은 표의 가로와 세로에 첫 번째 결과와 두 번째 결과를 각각 적고, 조건에 맞는 칸만 표시한다.
분모를 쓰기 전에 “전체 결과를 어떤 단위로 세었는가?”를 말한다. 분자를 쓰기 전에는 “그중 조건에 맞는 결과가 무엇인가?”를 말한다.
불필요한 정보와 필요한 관계 구분하기
확률 문장제에는 문제 상황을 설명하는 정보가 여러 개 들어갈 수 있다. 학생이 숫자를 모두 식에 넣으려 할 때는 각 숫자에 ‘전체 경우’, ‘원하는 경우’, ‘조건 확인용’이라고 이름을 붙인다. 확률 계산에 직접 쓰이지 않는 숫자는 옆에 두고, 왜 사용하지 않았는지를 한 문장으로 적게 한다. 이것은 정보를 빼먹는 행동이 아니라 문제의 조건과 구할 대상을 연결하는 과정이다.
경우의 수 표나 수형도를 만든 뒤에는 같은 가지가 두 번 생겼는지, 가능한 가지가 빠졌는지 손가락으로 따라간다. ‘적어도 한 번’은 직접 세는 방법과 ‘한 번도 나오지 않는 경우’를 전체에서 빼는 방법을 비교한다. 예컨대 주사위를 두 번 던져 적어도 한 번 6이 나올 확률은 전체 36가지에서 6이 한 번도 나오지 않는 25가지(5×5)를 뺀 11가지이므로 11/36이다.
답지를 닫은 뒤 숫자를 바꾸는 검증
풀이를 본 직후 같은 문제를 다시 맞히는 것은 독립적인 확인이 아니다. 먼저 공의 개수와 추출 횟수를 바꾼다. 빨간 공 3개와 파란 공 2개에서 두 번 비복원 추출하여 모두 빨간 공일 확률을 묻게 하고, 학생이 3/5×2/4=3/10으로 식을 세우는지 본다. 이어 ‘적어도 한 번 파란 공’처럼 사건의 표현을 바꾼다.
그 다음에는 학교 프린트와 문장 표현이 다른 문제를 제시한다. 주사위를 두 번 던져 합이 8 이상일 확률처럼 조건을 바꾸고, 표에서 해당 결과를 직접 찾아 분모 36을 유지하는지 확인한다. 시간 제한을 4분으로 두되, 계산보다 먼저 전체 경우와 조건을 표시하게 한다. 숫자, 순서, 복원 여부, 요구하는 사건이 바뀌어도 학생이 스스로 경우를 다시 구성하면 개념을 적용한 것으로 판단한다.
가산동 생활 리듬에 맞춘 지도
가산동의 학생이라도 학교와 주거지의 거리, 가산디지털단지 주변 이동, 도서관 이용 시간에 따라 집중 가능한 시간이 다르다. 긴 주말 보충만으로 미완료 문제를 한꺼번에 처리하기보다, 평일에는 한 문항의 수형도와 분모 설명을 15분 안에 끝내고 주말에는 표현을 바꾼 독립 문제를 확인한다. 같은 금천구의 가산중학교, 난곡중학교, 동일중학교, 문성중학교, 문일중학교는 통학권 참고 자료일 뿐이며 학교별 시험 난도나 출제 경향을 단정하지 않는다. 학교 프린트의 조건과 학생의 실제 풀이를 중심으로 다음 훈련을 정한다.
자주 묻는 질문
문제에 나온 숫자를 사용하지 않아도 되나요?
가능하다. 구할 사건과 전체 경우를 정하는 데 필요하지 않은 정보라면 식에 억지로 넣지 않는다. 사용하지 않은 이유를 말할 수 있어야 한다.
수형도를 꼭 그려야 하나요?
가능한 경우가 적을 때는 표나 목록도 괜찮다. 중요한 것은 전체 경우와 조건에 맞는 경우를 빠짐없이 구분하는 것이다.
확률 답이 맞으면 풀이도 맞는 건가요?
그렇지 않다. 복원 여부, 순서 구별, 중복·누락을 확인하고 원래 조건에 맞는 분모를 정했는지 설명해야 한다.