가산동중1수학과외, 문자식에서 같은 항만 묶이는 이유를 오답으로 확인하기
“3x+2y=5xy”라고 쓴 뒤, 학생은 답을 틀린 이유를 묻자 “계산 실수예요”라고 대답했다. 그러나 이 장면은 계산 속도의 문제가 아니라 항의 종류를 구분하지 않은 상태에 가깝다. 중1 문자식에서는 숫자만 더하는 것이 아니라, 같은 문자를 같은 차수로 가진 항끼리만 하나의 항으로 정리할 수 있다.
가산동은 가산디지털단지와 구립가산도서관 등이 있는 생활권으로, 학교와 주거지 사이 이동 시간이나 방과 후 일정이 학생마다 다를 수 있다. 같은 금천구 내 가산중학교, 난곡중학교, 동일중학교, 문성중학교, 문일중학교 등은 통학권을 참고할 수 있는 학교이지만, 해당 학교가 가산동 소재라고 단정할 수는 없다. 따라서 이 주제는 친구의 선행 속도에 맞춰 급하게 다음 단원으로 넘어가기보다, 학생이 실제로 틀린 항을 설명하고 다시 묶는 과정에 맞춰 진행할 필요가 있다.
‘같은 종류’는 무엇이 같은가
항은 덧셈과 뺄셈 기호로 구분되는 식의 각각의 부분이다. 예를 들어 4x, -3x, 7은 각각 하나의 항이다. 이때 4x와 -3x는 문자가 x로 같고, x의 개수도 같으므로 동류항이다. 따라서
4x-3x=(4-3)x=x
처럼 계수끼리 계산할 수 있다. 반면 4x와 3y는 문자가 다르므로 동류항이 아니다. 4x와 3x²도 문자 모양만 비슷할 뿐 지수가 다르므로 합칠 수 없다. 학생이 ‘문자가 있으면 모두 같은 항’이라고 생각하면 2x+3y를 5xy로 만들거나 x+x²을 2x²로 바꾸는 오답이 생긴다.
답지 직후 중간식을 지우는 습관
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 피곤한 날에도 평소와 같은 고난도 문제 수를 채우려 하다가 다음 식을 빠르게 정리한다.
3a+5-2a+4=8a+9
학생은 답지에서 정답이 a+9라는 것을 확인한 뒤 풀이를 지운다. 그러면 어느 줄에서 잘못되었는지 찾기 어렵다. 실제로는 3a와 -2a는 동류항이므로 3a-2a=a이고, 상수항 5와 4는 따로 계산해야 한다.
3a+5-2a+4
=3a-2a+5+4
=a+9
여기서 필요한 것은 더 많은 문제를 무작정 푸는 일이 아니다. 첫 줄에서 항마다 밑줄을 긋고, 문자항과 상수항을 나눈 뒤, 동류항끼리만 묶는 중간식을 남기는 행동이다. 피곤한 날에는 문제 수를 줄이더라도 이 표시와 중간식 작성은 생략하지 않도록 한다.
오답 원인을 네 가지 중 하나로 고르기
오답노트에는 정답만 옮기지 않고 먼저 원인을 개념·조건·계산·표현 중 하나로 정한다. 예를 들어 2x+3y=5xy는 ‘계산’이 아니라 ‘개념’ 오류다. x항과 y항을 함께 묶을 수 없다는 기준을 몰랐기 때문이다. 6b-2b를 8b로 썼다면 음수 계수를 더한 것이므로 계산 오류로 분류할 수 있다.
문제의 조건을 빠뜨려 식을 잘못 정리했다면 조건 오류이고, 풀이 과정은 맞지만 “동류항끼리 묶었다”는 근거를 쓰지 않았다면 표현 오류다. 이렇게 분류해야 학생이 “모르겠다” 대신 “문자가 다른 항을 합쳐도 되는지 판단하지 못했다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 질문할 수 있다.
문자식 정리 전 확인 순서
- 덧셈과 뺄셈 기호를 기준으로 항을 나눈다.
- 각 항의 부호를 계수에 포함해 적는다.
- 문자와 지수가 같은 항에 같은 표시를 한다.
- 동류항이 아닌 항은 억지로 합치지 않는다.
- 계수끼리 계산한 뒤 중간식을 남긴다.
예를 들어 5x-2+3x+7을 정리할 때 5x와 3x에는 동그라미, -2와 7에는 네모를 표시한다.
5x+3x-2+7=8x+5
반대로 2x+3y-4x를 정리하면 x항끼리만 계산하여 -2x+3y가 된다. 3y를 함께 계산하지 않는 이유를 말로 설명할 수 있어야 한다. “문자가 y라서 x항과 동류항이 아니다”라는 설명이 식의 결과보다 중요할 수 있다.
다음 문제에서 실제로 달라졌는지 확인하기
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것으로 확인을 끝내지 않는다. 먼저 숫자를 바꾼 식을 제시한다.
7m-3n+2m+n
학생은 m항과 n항을 각각 묶어 9m-2n이라고 정리해야 한다. 이어서 괄호가 포함된 식으로 바꾼다.
2(3x+1)-x+4
분배법칙을 적용하면 6x+2-x+4=5x+6이다. 이때 2를 괄호 안 모든 항에 곱하지 않고 3x에만 곱하는지 확인한다. 다음에는 x²항을 추가한다.
4x²+3x-2x²+x
x²항끼리, x항끼리 묶어 2x²+4x로 정리해야 한다. 일주일 뒤에는 문제집이 아닌 학교자료의 서술형 문항에서 “왜 이 항들을 묶었는지”를 한 문장으로 쓰게 한다. 식의 모양이 바뀌어도 동류항 판단, 중간식 작성, 근거 표현이 유지된다면 문자식 학습이 다음 문제로 전이된 것으로 볼 수 있다.