가산동중3수학과외, 부호가 바뀐 전개식도 끝까지 확인하는 연습
학생이 다음 식을 전개한 뒤 답을 내밀었다.
(x-4)(x+3)=x²+7x-12
첫 항과 마지막 항은 맞았지만 가운데 항의 부호와 계수가 달랐다. 학생은 “4와 3을 더해서 7, 앞의 부호가 다르니까 알아서 정리했다”고 설명했다. 이 장면에서 필요한 것은 전개식을 더 많이 푸는 일이 아니라, 각 항이 어디에서 생겼는지 확인하는 절차를 바꾸는 것이다.
가운데 항을 한 번에 추측하지 않기
(x-4)(x+3)은 앞의 괄호 전체를 뒤 괄호의 두 항에 각각 곱해야 한다.
x(x+3)-4(x+3)
=x²+3x-4x-12
=x²-x-12
학생의 오답은 3x와 -4x를 계산할 때 부호를 먼저 보지 않고 3과 4를 더한 데서 나왔다. 두 항의 부호가 다르므로 3x-4x=-x가 되어야 한다. 이 과정을 고정하기 위해 괄호를 펼친 직후에는 가운데 항을 바로 합치지 않고, 네 항을 모두 적게 했다.
- 첫 항과 두 번째 괄호의 곱: x²
- 첫 괄호의 x와 두 번째 괄호의 3의 곱: 3x
- 첫 괄호의 -4와 두 번째 괄호의 x의 곱: -4x
- 상수항의 곱: -12
각 곱셈에 작은 표시를 하게 하자 학생은 “가운데 두 항은 부호가 다르니까 빼야 한다”고 말할 수 있었다. 단순히 결과를 외우는 대신 전개 순서를 말과 식으로 연결한 셈이다.
같은 모양처럼 보여도 부호를 다시 읽어야 하는 식
다음 두 식을 나란히 제시했다.
(x-5)(x+2), (x+5)(x-2)
학생은 두 식의 가운데 항이 모두 -3x라고 적었다. 첫 번째 식은
(x-5)(x+2)=x²+2x-5x-10=x²-3x-10
이므로 맞다. 그러나 두 번째 식은
(x+5)(x-2)=x²-2x+5x-10=x²+3x-10
이다. 숫자 5와 2가 같아도 어느 괄호에 음수가 붙었는지에 따라 가운데 항의 부호가 달라진다. 학생에게 먼저 답을 쓰지 말고 각 괄호 안의 항에 부호를 붙여 읽도록 했다. “x와 -2를 곱하면 -2x, 5와 x를 곱하면 +5x”라고 소리 내어 확인한 뒤에야 동류항을 정리하게 했다.
가산동 주소에 해당하는 중학교는 제공 자료에서 확인되지 않았다. 따라서 가산중학교, 난곡중학교, 동일중학교, 문성중학교, 문일중학교는 가산동 소재 학교가 아니라 같은 금천구 범위에서 살펴보는 참고 학교로 구분했다. 가산디지털단지와 구립가산도서관이 포함된 생활권에서는 통학이나 이동 시간에 따라 실제 공부 가능 시간이 달라질 수 있으므로, 수업에서는 학교명을 기준으로 진도를 단정하기보다 학생이 귀가 후 식사와 이동을 마치고 언제 식을 직접 써 볼 수 있는지를 먼저 맞춘다.
틀린 줄을 찾아 고치는 기록
학생이 전개식을 틀렸을 때 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 오류가 처음 발생한 줄에 표시했다. 예를 들어
(2x-3)(x-4)=2x²-8x-3x+12=2x²-11x+12
에서 마지막 결과는 정확하다. 하지만 다음 식을 쓰는 과정에서 -8x와 -3x를 각각 어떻게 만들었는지 설명하지 못하면 숫자를 기억한 것일 수 있다. 반대로
(2x-3)(x-4)=2x²-8x+3x+12
라고 썼다면 -3과 x의 곱을 +3x로 바꾼 것이므로 그 줄만 수정해야 한다. -3×x=-3x임을 확인한 뒤
2x²-8x-3x+12=2x²-11x+12
로 다시 정리한다. 수정 행동은 ‘부호를 조심한다’가 아니라, 각 항의 곱셈 기호를 복원하고 계수의 부호를 괄호째 적는 것이다.
전개한 뒤 원래 식으로 되돌려 보기
전개가 끝나면 결과를 보고 맞다고 판단하지 않는다. 학생은 자신이 구한 2x²-11x+12를 다시 인수 형태로 만들 수 있는지 확인했다.
2x²-11x+12=(2x-3)(x-4)
다시 전개하면 2x²-8x-3x+12=2x²-11x+12가 된다. 이 검산은 다른 단원으로 넘어가는 활동이 아니라, 전개 과정에서 네 곱을 빠뜨리거나 부호를 바꾸지 않았는지 확인하는 방법이다. 특히 상수항의 부호만 맞고 가운데 항이 틀리는 경우에는 두 일차항의 곱을 다시 계산하게 했다.
숫자와 식의 위치가 바뀐 문제에서 확인하기
다음 시간에는 익숙한 (x+a)(x+b) 형태 대신 계수와 음수 위치를 바꾼 문제를 제시했다.
(3x+2)(2x-5)
학생은 먼저 네 곱을 적었다.
3x·2x=6x², 3x·(-5)=-15x, 2·2x=4x, 2·(-5)=-10
따라서
(3x+2)(2x-5)=6x²-15x+4x-10=6x²-11x-10
이 문제에서는 앞의 두 항이 모두 x가 아니고, 가운데 항의 계수도 단순히 두 수의 합이나 차로 정할 수 없다. 그런데 학생은 멈추지 않고 각 항을 만든 뒤 -15x+4x=-11x로 정리했다. 마지막으로 x=2를 대입해 원래 식과 전개식의 값을 비교했다.
원래 식은 (6+2)(4-5)=8×(-1)=-8이고, 전개식은 6×4-11×2-10=24-22-10=-8이다. 숫자가 바뀌고 괄호의 계수가 달라져도 ‘네 곱을 먼저 적고, 동류항을 나중에 합치며, 대입으로 확인한다’는 행동이 유지되는지가 현재 학습의 기준이다.
자주 묻는 질문
전개할 때 FOIL 방식만 외워도 되나요?
순서를 기억하는 데 사용할 수는 있지만, 각 항의 곱을 설명하지 못하면 부호가 바뀐 문제에서 흔들릴 수 있다. 네 곱을 직접 적는 방식이 안전하다.
가운데 항을 먼저 계산하면 안 되나요?
두 가운데 항을 정확히 만들었다면 가능하지만, 부호 오류가 잦을 때는 x²항과 상수항까지 포함해 네 항을 모두 적은 뒤 정리하는 편이 좋다.
전개를 독립적으로 이해했다고 판단하는 기준은 무엇인가요?
같은 문제를 다시 맞히는 것이 아니라 계수, 부호, 괄호의 항 수가 바뀐 문제에서 각 곱을 도움 없이 적고, 결과를 대입이나 재전개로 확인하는지 본다.