오목천동고2수학과외

오목천동고2수학과외: 부분합에서 일반항을 찾을 때 공비를 먼저 확인하는 이유

“S_n=2ⁿ이면 a_n=2ⁿ이니까 공비는 항상 2이다.”

이렇게 적은 풀이에서는 부분합의 식과 일반항의 식이 뒤섞여 있다. 오목천역과 오목천주공아파트 생활권에서 영신여자고등학교로 통학하며 과제와 시험 범위를 관리할 때도, 풀이 한 줄의 기호가 무엇을 뜻하는지 구분하는 습관이 필요하다. 같은 권선구의 권선고등학교, 수원칠보고등학교, 호매실고등학교, 고색고등학교는 참고 학교일 뿐 오목천동 소재 학교와는 구분해야 한다.

S_n에서 a_n을 구하는 두 규칙

부분합 S_n은 첫째항부터 n번째 항까지의 합이다.

a₁=S₁,
a_n=S_n-S_n-1  (n≥2)

따라서 S_n=2ⁿ이라면

a₁=S₁=2,
a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1  (n≥2)

가 된다. 여기서 a₁=2이고, n≥2에서는 a_n=2^n-1이므로 실제 수열은

2, 2, 4, 8, 16, …

이다. 첫째항에서 둘째항으로의 비는 1이고, 둘째항 이후의 비는 2이다. 따라서 이 수열은 등비수열이 아니다.

공비를 계산하지 않고 등비수열이라고 결론 낸 오류

풀이 중 “a_n=2^n-1이므로 공비는 2”라고 적었다면, n≥2인 일반항만 보고 첫째항과 둘째항의 관계를 확인하지 않은 것이다. 등비수열이라면 모든 인접한 항의 비가 같은 하나의 값이어야 한다.

a₂/a₁=2/2=1,
a₃/a₂=4/2=2

두 비가 다르므로 공비는 존재하지 않는다. 특히 a_n=S_n-S_n-1은 일반항을 구하는 공식이지, 그 결과가 자동으로 등비수열이라는 뜻은 아니다.

기호의 뜻을 말한 뒤 식 한 줄만 고쳐 보기

풀이를 다시 쓸 때는 먼저 “S_n은 첫째항부터 n번째 항까지의 합이고, S_n-S_n-1은 n번째 항이다”라고 말한다. 그 설명에 맞춰 잘못된 줄만 다음처럼 바꾼다.

잘못된 줄: a_n=S_n=2ⁿ
수정한 줄: a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1  (n≥2)

그 뒤 a₁=S₁=2를 따로 적고, a₂/a₁과 a₃/a₂를 비교한다. 이 확인까지 해야 부분합에서 일반항을 구한 것과 등비수열 조건을 판별한 것이 연결된다.

공비가 실제로 일정한지 다른 조건에서 확인하기

이번에는 S_n=3·2ⁿ-3인 수열을 보자. 먼저 첫째항을 따로 계산하면

a₁=S₁=6-3=3

이고, n≥2에서

a_n=S_n-S_n-1
=(3·2ⁿ-3)-(3·2^n-1-3)
=3·2^n-1

따라서 a₂=6, a₃=12이며

a₂/a₁=6/3=2,   a₃/a₂=12/6=2

이다. 이 경우에는 a_n=3·2^n-1이 첫째항에도 맞고 공비 2가 일정하므로 등비수열이다. 앞의 예와 달리 첫째항을 일반항 식에 대입해도 일치하는지 확인해야 한다.

불가능한 부분합을 스스로 제거하는 검산

마지막으로 “등비수열의 첫째항이 2이고 공비가 1이며 S₄=10”이라는 조건을 점검해 보자. 공비가 1이면 모든 항이 2이므로

S₄=2+2+2+2=8

이다. 따라서 S₄=10을 동시에 만족하는 등비수열은 존재하지 않는다. 공식에 값을 억지로 대입해 공비나 항을 만들어 내지 말고, 등비수열의 항을 직접 써서 조건의 양립 가능성을 확인해야 한다.