오목천동 고3 수학과외에서 표본비율과 모집단 비율 구분하기
오목천동에서 영신여자고등학교로 통학하며 과제와 시험을 함께 준비하는 학생은 문제를 빠르게 읽는 습관 때문에 표본에서 얻은 비율과 모집단의 실제 비율을 같은 값으로 처리했다. 오목천역과 오목천주공아파트 생활권처럼 조사 대상이 넓어질수록 표본과 모집단을 구분하는 것이 중요하다.
표본에서 계산한 값은 모집단의 확정값이 아니다
어떤 학교 학생 400명을 무작위로 조사했더니 248명이 방과 후 수학 보충학습을 한다고 하자. 표본비율은
̂p = 248/400 = 0.62
이다. 여기서 p는 전체 학생 중 보충학습을 하는 실제 모집단 비율이고, ̂p는 조사한 400명에서 계산한 표본비율이다.
학생의 오답: p = 248/400 = 0.62이므로 전체 학생의 비율은 62%이다.
이 식은 틀렸다. 0.62는 표본에서 관찰된 값일 뿐이며, 표본오차 때문에 모집단 비율 p와 반드시 같다고 할 수 없다. 문제에서 95% 신뢰구간을 요구한다면 답도 하나의 확정값이 아니라 구간으로 제시해야 한다.
조건을 먼저 고정한 뒤 신뢰구간 계산하기
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 모집단 비율은 미지수 p, 표본비율은 ̂p로 다시 적었다. 이어서 표본크기 n=400, 신뢰수준 95%, 성공횟수 248이라는 조건을 확인했다.
95% 신뢰구간은
̂p ± 1.96;√[̂p(1-̂p)/n]
이므로
0.62 ± 1.96;√(0.62×0.38/400)
= 0.62 ± 0.0476
이다. 따라서 모집단 비율의 95% 신뢰구간은
0.5724 ≤ p ≤ 0.6676
로 정리한다. 학생은 계산기에서 표준오차가 약 0.0243인지 확인하고, 구간의 양 끝을 다시 평균하면 (0.5724+0.6676)/2=0.62가 되는지 역계산했다. 또한 표본비율 0.62가 구간의 중앙에 있는지도 확인했다.
표본크기와 신뢰수준을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고, 이번에는 250명을 조사해 140명이 보충학습을 한다고 하자. 신뢰수준은 90%로 바꾼다.
̂p=140/250=0.56, 90% 신뢰수준의 임계값은 약 1.645이므로
0.56 ± 1.645;√(0.56×0.44/250)
≈ 0.56 ± 0.0516
이다. 따라서 새로운 신뢰구간은 0.5084 ≤ p ≤ 0.6116이다. 학생은 0.56을 모집단 비율로 단정하지 않고, 표본크기와 신뢰수준이 달라지면 구간도 달라진다는 점까지 확인했다.