오목천동고1수학과외: 꼭짓점의 x좌표로 대칭축 해석하기
이차함수의 그래프에서 대칭축이 좌표축과 일치하지 않는 경우에는 꼭짓점의 위치를 먼저 읽고, 그 좌표 중 무엇이 대칭축을 나타내는지 구분해야 한다. 오목천동에서 영신여자고등학교 통학과 과제를 함께 관리하는 고1 학생의 풀이에서도 이 구분이 자주 흔들렸다.
꼭짓점은 찾았지만 축의 방향을 바꾼 풀이
학교 프린트에 다음 함수가 제시되었다.
y=2(x-3)2-5
꼭짓점은 (3,-5)이다. 따라서 그래프는 x=3을 기준으로 좌우 대칭이고, 대칭축은 x=3이다.
그런데 학생은 꼭짓점의 x좌표 3을 구한 뒤 답안에 y=3이라고 적었다. 꼭짓점의 두 좌표를 알고 있었지만, 대칭축의 식이 세로선인지 가로선인지 해석하는 기준이 아직 일정하지 않은 상태였다.
대칭축은 꼭짓점의 어느 좌표를 쓰는가
꼭짓점이 (p,q)인 이차함수의 대칭축은 세로선 x=p이다. y좌표 q는 그래프가 가장 높거나 낮은 지점을 나타내지만, 좌우가 나뉘는 위치를 결정하지 않는다.
위 함수에서는 p=3, q=-5이므로
- 꼭짓점: (3,-5)
- 대칭축: x=3
- 최솟값: -5
로 구분해야 한다. y=3은 가로선이므로 이 그래프의 좌우 대칭축이 될 수 없다.
꼭짓점을 구한 직후 식의 방향까지 적기
수정할 때는 꼭짓점만 표시하고 다음 문제로 넘어가지 않는다. 꼭짓점의 x좌표를 얻은 바로 다음 줄에 대칭축: x=p를 함께 기록한다.
예를 들어 y=-3(x+2)2+4라면
(x+2)2=(x-(-2))2이므로 꼭짓점은 (-2,4), 대칭축은 x=-2이다. 여기서 y=4라고 쓰지 않으려면 꼭짓점의 두 좌표를 확인한 뒤 대칭축에는 첫 번째 좌표만 사용한다.
꼭짓점 (p,q)를 찾았다면 바로 옆에 대칭축 x=p를 적는다.
그래프나 표에서 조건을 먼저 읽는 연습
식이 바로 주어지지 않고 그래프나 표로 제시될 때에는 제목, 가로축과 세로축의 이름, 단위를 먼저 확인한다. 예를 들어 가로축이 시간, 세로축이 높이라고 표시된 표라면 숫자를 좌표로 옮길 때에도 가로값을 x, 세로값을 y로 읽어야 한다. 꼭짓점처럼 보이는 값이 있더라도 두 좌표의 역할을 바꾸어 쓰면 대칭축을 잘못 정하게 된다.
오목천역에서 귀가한 뒤 시간이 짧은 날에는 새로운 문제를 많이 풀기보다 그래프 한 개의 축 이름과 꼭짓점, 대칭축을 정확히 적는 활동으로 학습 종류를 조정했는지 기록하게 할 수 있다.
숫자를 바꾼 문항에서 스스로 확인하기
확인 문항으로 y=1/2(x+4)2+7을 제시한다. 학생이 먼저 식을 y=1/2(x-(-4))2+7로 해석하면 꼭짓점은 (-4,7)이고 대칭축은 x=-4이다.
이때 답만 맞히는지 보지 않고, 학생이 꼭짓점의 x좌표를 확인한 뒤 대칭축을 x=-4로 적는지 살핀다. 그래프 자료라면 제목과 축의 단위를 먼저 읽고 좌표를 정리했는지도 함께 확인한다.