서둔동고2수학과외: 등비수열의 합에서 분모 0이 생긴 풀이를 바로잡는 과정
서둔동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 학습 일정은 권선구 통학권의 권선고등학교·수원칠보고등학교·영신여자고등학교·호매실고등학교·고색고등학교 등의 시험 범위와 수행평가 시기를 참고해 조정할 수 있다. 평일 귀가 후 짧은 시간에 등비수열 문제를 풀 때는 공식을 바로 쓰기보다, 먼저 공비가 일반 공식의 조건에 맞는지 확인해야 한다.
r=1인데 왜 일반 등비합 공식이 멈추는가
풀이 노트에는 다음 문제가 적혀 있었다.
첫째항이 3이고 공비가 1인 등비수열의 첫 5항의 합을 구하여라.
학생은 첫 줄에
S_5=3×(1-1^5)/(1-1)=0/0
이라고 썼다. 여기서 계산을 계속할 수 없는 이유는 단순한 산술 실수가 아니다. 일반적인 등비수열의 합
S_n=a(1-r^n)/(1-r)
은 r≠1일 때 사용하는 식이다. 공비가 1이면 모든 항이 3이므로
3+3+3+3+3=5×3=15
이다. 분모와 분자가 모두 0이 된 식을 0으로 계산하거나, 공식이 틀렸다고 판단하는 것은 원래 합의 구조를 놓친 결과다.
항을 직접 써서 비율과 부호를 확인하기
공식 변형 과정에서도 부호를 잘못 바꾸는 경우가 있었다. 공비가 2일 때는
S_5=3(1-2^5)/(1-2)=3(-31)/(-1)=93
이다. 같은 식을
S_n=a(r^n-1)/(r-1)
로 바꾸어 쓸 수도 있지만, 분자와 분모의 부호를 함께 바꾸어야 한다. 따라서
S_5=3(2^5-1)/(2-1)=93
이 된다. 분자만 r^n-1로 바꾸고 분모를 1-r로 남기면 부호가 달라져 잘못된 답을 만든다.
짧은 대입으로 공식의 적용 범위를 검사하기
풀이를 시작하기 전 다음 세 가지를 노트 첫 줄에 적는다.
a=3,r=1,n=5인지 확인한다.r=1이면 일반 등비합 공식을 사용하지 않는다.- 항을 직접 써서
S_5=5a로 계산한다.
이 절차를 적용하면 3, 3, 3, 3, 3이 되어 합이 15임을 즉시 확인할 수 있다. 반대로 공비를 2로 바꾸면 3, 6, 12, 24, 48이므로 합은 93이다. 공비가 바뀐 부분만 공식 적용 여부와 항의 변화를 다시 판단해야 한다.
공비만 바뀐 문제에서 다시 확인하기
검증 문제는 첫째항과 항의 개수는 그대로 두고 공비만 바꾼다.
첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 첫 5항의 합을 구하여라.
이때 r=2≠1이므로 공식을 사용할 수 있다.
S_5=3(1-2^5)/(1-2)=93
마지막에는 항을 직접 더해 3+6+12+24+48=93인지 대조한다. 공비가 1인 경우에는 직접 합을 사용하고, 공비가 1이 아닌 경우에는 부호가 같은 형태로 분자와 분모를 함께 변형하는지가 이 문제에서 확인할 풀이 기준이다.