신뢰구간의 폭과 임계값을 함께 확인하는 풀이
서둔동에서 권선구 통학권 학교에 다니는 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 나누어 공부하면서, 평일 귀가 뒤에는 틀린 확률과 통계 문제를 다시 정리했다. 그러나 신뢰구간 문제를 복기할 때마다 풀이 전체를 처음부터 옮겨 적어 부호와 공식 중 최초 오류를 찾지 못했다.
구간의 끝값만 계산하면 생기는 오류
모집단의 표준편차가 12인 정규모집단에서 크기 \(n=36\)인 표본의 평균이 74였다. 모평균 \(\mu\)에 대한 95% 신뢰구간을 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 작성했다.
\(\bar{x}\pm z_{0.025}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)
\(=74\pm1.645\dfrac{12}{6}\)
\(=74\pm3.29\)
\(70.71\leq\mu\leq77.29\)
이 식은 틀렸다. 양측 95% 신뢰구간에서는 양쪽 꼬리의 확률이 각각 \(0.025\)이므로 임계값은 \(z_{0.025}=1.96\)이 아니라, 누적확률 \(0.975\)에 대응하는 \(1.96\)을 사용해야 한다. 학생은 90% 신뢰수준의 임계값 \(1.645\)를 95% 문제에 적용했다.
최초 오류를 표시하고 관계를 다시 연결하기
- 틀린 줄 표시: \(z=1.645\)
- 조건 확인: 95% 신뢰도이므로 가운데 영역은 \(0.95\), 양쪽 꼬리는 각각 \(0.025\)이다.
- 식 수정: \(E=1.96\cdot\dfrac{12}{\sqrt{36}}=1.96\cdot2=3.92\)
- 구간 계산: \(74-3.92\leq\mu\leq74+3.92\), 따라서 \(70.08\leq\mu\leq77.92\)
학생은 중간식 옆에 ‘양측 95% → \(z=1.96\)’이라고 적고, 표본평균에서 오차를 빼고 더하는 구조를 확인했다. 또한 구간의 중점이 \(\dfrac{70.08+77.92}{2}=74\)인지 역계산했다. 구간의 폭도 \(77.92-70.08=7.84=2E\)이므로 오차한계 \(E=3.92\)와 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단의 표준편차가 10, 표본평균이 52, 표본 크기가 25인 경우에 모평균의 99% 신뢰구간을 구했다. 99% 신뢰도에서는 임계값이 약 \(2.576\)이므로, 이전의 \(1.96\)을 그대로 사용할 수 없다.
\[ E=2.576\cdot\frac{10}{\sqrt{25}} =2.576\cdot2 =5.152 \]
따라서 신뢰구간은
\(52-5.152\leq\mu\leq52+5.152\)
\(46.848\leq\mu\leq57.152\)
학생은 95%에서 99%로 신뢰도가 높아지면 임계값이 증가하고, 같은 표본 크기에서는 구간폭 \(2E=10.304\)가 커진다는 점을 확인했다. 중점이 \(52\)로 유지되는지도 검산하여 신뢰도, 임계값, 구간폭의 관계를 새 조건에 적용했다.