서둔동고1수학과외 그래프 이동에서 점과 식의 대응 구별하기
서둔동고1수학과외 학습에서 그래프 이동은 계산보다 먼저 ‘무엇이 이동하는가’를 구분해야 한다. 점의 좌표를 옮기는 문제와 함수식에 이동을 반영하는 문제는 서로 연결되어 있지만, 같은 식을 그대로 치환하는 방식으로 처리하면 방향이 뒤집힐 수 있다.
점의 이동과 함수식 변환은 같은 장면을 다르게 기록한다
함수 y=f(x) 위의 점을 (a, f(a))라 하자. 이 그래프를 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 평행이동하면 점은
(a, f(a)) → (a+3, f(a)-2)
가 된다. 반면 이동한 그래프의 식은 원래 함수의 입력값을 왼쪽으로 3 되돌린 뒤 출력값을 2 낮추므로
y=f(x-3)-2
로 나타낸다. 점의 x좌표에는 3을 더하지만, 식 안의 x에는 3을 빼는 것이 이 문제의 대응 관계다.
계산은 이어 갔지만 대응 메모리가 빠진 풀이
학교 프린트의 도형의 이동 문제에서 학생은 원래 그래프 y=x2를 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 옮기는 과정에서 새 문자와 원래 문자의 대응을 적지 않았다. 답안에는 곧바로
y=(x+3)2-2
라고 썼다. 이는 그래프를 왼쪽으로 3, 아래로 2 옮긴 식이다. 예를 들어 원래 꼭짓점 (0,0)은 실제 이동 후 (3,-2)가 되어야 하지만, 위 식의 꼭짓점은 (-3,-2)이다.
이 장면은 제곱 계산을 못한 경우가 아니다. 점의 이동 규칙과 식의 치환 규칙을 구별하지 않은 채 다음 줄로 넘어간 경우다.
빠진 줄을 표시하고 대응부터 다시 쓴다
오답을 고칠 때 식을 바로 지우는 대신, 대응이 빠진 위치에 표시를 남긴다. 먼저
새 점 (X,Y) = (x+3, y-2)
를 적는다. 여기서 원래 좌표를 (x,y), 이동 후 좌표를 (X,Y)로 구분한다. 따라서
X=x+3 → x=X-3, Y=y-2 → y=Y+2
이다. 원래 식 y=x2에 이를 대입하면
Y+2=(X-3)2
이므로 이동한 그래프는 Y=(X-3)2-2가 된다. 보통 사용하는 변수로 바꾸면 y=(x-3)2-2이다.
이후에는 식만 보지 않고 꼭짓점도 확인한다. 원래 꼭짓점 (0,0)이 (3,-2)로 이동하고, 새 식에 x=3을 넣었을 때 y=-2가 나오므로 두 관점이 일치한다.
표현이 달라져도 같은 이동인지 연결하기
서둔동에서 통학하는 학생이 학교 프린트와 문제집을 번갈아 볼 때는 평일 귀가 후 확보한 짧은 시간에 식의 모양만 외우기보다 대응을 먼저 복원하는 방식이 적절하다. 예를 들어 문제집에 “포물선의 꼭짓점을 (3,-2)로 옮긴 식”이라고 쓰여 있으면, y=x2의 꼭짓점 (0,0)이 어떻게 이동했는지 확인한 뒤 y=(x-3)2-2를 선택한다.
반대로 “y=f(x-4)+5는 원래 그래프를 어떻게 이동한 것인가?”라고 물으면 점의 위치는 오른쪽 4, 위쪽 5가 된다. 식의 괄호 안 부호와 점 좌표의 이동 방향을 따로 적어 연결해야 한다.
일주일 뒤 다른 표현으로 재확인할 문제
일주일 뒤에는 원래 문제를 그대로 반복하지 않고, y=|x|를 왼쪽으로 2, 위로 4만큼 이동한 그래프의 식을 제시한다. 원점은 (0,0)→(-2,4)로 옮겨지므로 식은
y=|x+2|+4
이다. 학생이 먼저 점의 좌표 변화를 적고, 그다음 식의 치환을 y=f(x+2)+4로 연결한다면 표현이 달라진 문제에서도 같은 개념을 적용한 것이다. 다음 날 이 대응을 재현하지 못한 문제만 다시 남겨, 점 이동과 식 치환을 한 묶음으로 보지 않고 각각 확인한다.