권선동고2수학과외에서 자주 확인하는 장면은 등비수열의 합을 계산하면서도 공비 조건을 답안에 남기지 않는 경우다. 권선고등학교·화홍고등학교·곡정고등학교처럼 학교별 주간 일정과 프린트 구성이 다르더라도, 이 단원에서는 먼저 공식이 성립하는 범위를 판별해야 한다.
r=1인데 분모가 0이 된 풀이
등비수열의 첫째항이 a, 공비가 r일 때, r≠1이면
Sn=a(1-rn)/(1-r)
을 사용할 수 있다. 그런데 r=1이면 모든 항이 a이므로 공식 대신
Sn=na
로 처리해야 한다.
예를 들어 3, 3, 3, 3, 3의 합을 구할 때 계산 흔적에 r=1을 적고도
S5=3(1-15)/(1-1)=0/0
이라고 썼다면, 이는 답이 0이라는 뜻이 아니라 적용할 수 없는 공식을 사용한 것이다. 실제 합은 3×5=15이다. 유한 등비합 공식의 분모가 0이 되므로, r=1을 별도 경우로 나누어야 한다.
공식을 쓰기 전 답안에 남길 판별
풀이 첫 줄에 다음처럼 조건을 적게 한다.
n은 양의 정수, r=1인지 먼저 확인
r=1이면 Sn=na, r≠1이면 Sn=a(1-rn)/(1-r)
이번 오답에서는 여러 항목을 한꺼번에 고치려 하지 않고 ‘공식 적용 조건’만 표시한다. 예컨대 a=4, r=1, n=7이면 일반식을 대입하지 않고 S7=7×4=28이라고 바로 결정한다.
공비와 항의 개수가 함께 바뀐 경우
새 문제로 a=-2, r=1/2, n=4를 제시한다. 이번에는 공비가 1이 아니므로 일반식을 사용할 수 있다.
S4=-2{1-(1/2)4}/{1-1/2}
=-2×(15/16)÷(1/2)=-15/4
음의 첫째항 때문에 합이 음수라는 점도 확인한다. 이때 풀이 순서가 공비 조건 확인 → 공식 선택 → n 대입 → 부호 검산으로 재구성되면, 숫자만 따라 계산한 것이 아니라 성립 범위를 판단한 것이다. 高登