권선동고1수학과외: \(x\to x-a\) 치환과 그래프의 실제 이동 방향
권선고등학교, 화홍고등학교, 곡정고등학교 등 권선동의 학교에서 교과서와 학교 프린트의 함수 변환 문제를 함께 다룰 때, 학생들이 자주 놓치는 부분은 식의 숫자와 그래프 이동을 한 방향으로만 읽는 것이다. 권선아파트와 권선대림아파트 생활권에서 귀가 후 짧은 시간에 복습하는 경우에도, 보이는 숫자를 바로 대입하기보다 치환식을 먼저 해석해야 한다.
식에 보이는 2와 실제 이동 방향은 다르다
함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 오른쪽으로 \(2\)만큼 평행이동하면 새 함수는
\(y=f(x-2)\)
가 된다. 여기서 식 안의 \(x\)에 \(x-2\)를 대입했으므로 치환은 \(x\to x-2\)이지만, 그래프의 이동 방향은 오른쪽이다. 예를 들어 \(f(x)=x^2\)이면
\(y=(x-2)^2\)
의 꼭짓점은 \((2,0)\)이다. 따라서 \(x-2\)의 숫자 2를 보고 왼쪽으로 이동했다고 판단하면 안 된다.
나누는 식에서 부호를 거꾸로 읽은 풀이
학교 문제에서 다항식 \(P(x)\)를 \(x-2\)로 나눌 때 나머지를 구하는 상황을 보자. 나머지정리에 따라 나머지는 \(P(2)\)이다. 그런데 한 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(x-2=x-(-2)\)이므로 \(P(-2)\)를 계산한다.
이 식은 학생이 \(x-a\)의 \(a\)를 확인하지 않고, 보이는 숫자 2를 임의로 음수로 바꾼 오류다. 실제로 \(P(x)=x^2+3x-1\)이라면
\(P(2)=2^2+3\cdot2-1=4+6-1=9\)
이므로 \(x-2\)로 나눌 때 나머지는 9이다. 반면
\(P(-2)=(-2)^2+3(-2)-1=4-6-1=-3\)
은 \(x+2\), 즉 \(x-(-2)\)로 나눌 때 사용하는 값이다.
풀이 전에 치환의 기준을 식으로 고정하기
이 오류를 고칠 때는 문장을 외우게 하기보다 나누는 식을 먼저 표준형으로 다시 쓴다.
- 나누는 식을 \(x-a\) 꼴로 적는다.
- 그 식에서 \(a\)의 값을 확인한다.
- 그 값을 원래 다항식에 넣어 \(P(a)\)를 계산한다.
따라서 \(x-2\)는 \(x-a\)에서 \(a=2\)이고, \(P(2)\)를 계산한다. \(x+2\)는 \(x-(-2)\)이므로 \(a=-2\), 즉 \(P(-2)\)를 사용한다. 학생이 틀린 줄을 지운 뒤 정답만 고치는 데 그치지 않고, 이 세 기준을 실제 풀이 옆에 적용하는지 확인해야 한다.
치환과 그래프 이동을 한 문제에서 연결하기
\(f(x)=x^2-4x+1\)의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 옮긴 식은 \(f(x-3)\)이다.
\[ f(x-3)=(x-3)^2-4(x-3)+1 =x^2-10x+22 \]
원래 함수는 \(f(x)=(x-2)^2-3\)이므로 꼭짓점이 \((2,-3)\)이고, 변환된 함수의 꼭짓점은 \((5,-3)\)이다. 식 안의 \(x-3\)을 보고 왼쪽 이동이라 판단하지 않고, 입력값을 3만큼 늦추면 같은 함수값이 오른쪽에서 나타난다는 관계를 설명해야 한다.
새 형식에서 확인한 적용 여부
같은 식을 다시 푸는 대신, 수행평가 자료에 제시된 그래프나 작도 설명을 지필형 문제로 바꾸어 확인한다. 예를 들어 “그래프 \(y=f(x)\)를 오른쪽으로 4만큼 이동한 식을 쓰고, \(x-4\)에서의 \(a\)값을 설명하라”는 문제를 제시한다. 학생이 \(y=f(x-4)\), \(a=4\), 나머지 계산에는 \(P(4)\)를 사용한다고 스스로 연결하면 적용한 것이다.
정답을 맞혀도 \(x-a\)로 다시 쓰는 과정이 빠졌거나, 실제 이동 방향과 치환 방향을 설명하는 데 오래 걸리면 아직 재확인 항목으로 남긴다. 권선동의 학교별 지필평가와 수행평가 일정이 다른 만큼, 문제를 많이 푸는 것보다 형식이 바뀌어도 같은 수학적 관계를 꺼내는지가 기준이 된다.