권선동 고3 수학과외에서 다룬 신뢰구간의 폭과 신뢰수준
권선동에는 권선고등학교, 화홍고등학교, 곡정고등학교가 있고, 권선구 안에는 수원칠보고등학교와 영신여자고등학교 등도 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간은 다를 수 있으므로, 이번 학습에서는 특정 학교의 경향을 단정하지 않고 학생이 실제로 틀린 확률과 통계 문제를 중심으로 점검했다.
신뢰수준을 높이면 구간은 어떻게 변하는가
모집단의 표준편차가 σ=12로 알려져 있고, 크기 n=36인 표본의 평균이 68이라고 하자. 모평균 μ의 95% 신뢰구간은 표준정규분포의 임계값 z0.975=1.96을 사용하여
68-1.96×12/√36 ≤ μ ≤ 68+1.96×12/√36
이므로
68-3.92 ≤ μ ≤ 68+3.92, 즉 64.08≤μ≤71.92이다. 여기서 신뢰구간의 폭은
2×1.96×12/6=7.84이다.
신뢰수준은 모집단의 모평균을 포함할 구간을 만드는 절차의 신뢰 정도이고, 표본은 모집단에서 뽑은 자료이다. 신뢰수준이 높아지면 더 큰 임계값이 필요하므로, 표본크기가 같을 때 구간은 넓어진다.
학생이 실제로 쓴 오답식
학생은 99% 신뢰구간을 구하면서 다음과 같이 적었다.
68±1.96×12/√36
이는 95% 신뢰수준의 임계값 1.96을 그대로 사용한 오답이다. 99% 신뢰구간에서는 z0.995≈2.576을 사용해야 하므로, 신뢰도가 높아질수록 구간이 좁아진다는 학생의 판단도 틀렸다.
정확한 계산은
68±2.576×12/6=68±5.152
이므로 99% 신뢰구간은 62.848≤μ≤73.152이다. 폭은 10.304로, 95% 신뢰구간의 폭 7.84보다 오히려 커졌다.
틀린 줄을 찾아 조건부터 다시 확인한 과정
- 틀린 줄 표시: 신뢰수준이 99%인데 임계값을 1.96으로 사용했다.
- 조건 확인: 모집단 표준편차 σ가 주어졌으므로 표준오차는 σ/√n=12/6=2이다.
- 식 수정: 95%는 1.96, 99%는 2.576을 사용한다.
- 대입 검산: 99% 오차한계 2.576×2=5.152로 계산한다.
- 폭 검산: 임계값이 커졌으므로 폭 2×임계값×표준오차도 7.84에서 10.304로 증가한다.
표본크기를 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단 표준편차가 σ=10, 표본평균이 52, 표본크기가 n=100이고 신뢰수준이 95%인 경우를 확인했다. 표준오차는 10/√100=1이므로 신뢰구간은
52±1.96×1, 즉 50.04≤μ≤53.96이다.
같은 모집단에서 표본크기만 n=25로 바꾸면 표준오차는 10/5=2가 되어 신뢰구간은 52±3.92, 즉 48.08≤μ≤55.92가 된다. 신뢰수준은 같지만 표본크기가 작아지자 구간 폭이 3.92에서 7.84로 넓어졌다. 따라서 신뢰수준을 높이면 폭이 넓어지고, 표본크기를 늘리면 폭이 좁아진다는 두 관계를 구분해야 한다.