구리 고2수학과외: 치환한 값보다 먼저 확인할 사인 범위
구리시의 갈매동·교문동·수택동·인창동·토평동처럼 생활권과 학교별 주간 일정이 서로 다른 환경에서는 삼각방정식 풀이를 배운 뒤 변형 문제에 적용하는 과정이 중요하다. 특히 치환형 문제에서는 계산 결과를 얻는 것만으로 풀이가 끝나지 않는다. 치환한 값이 실제 삼각함수의 값이 될 수 있는지, 그리고 그 값에서 기본해와 주기를 반영했는지를 이어서 판단해야 한다.
t=sin x에서 t=2를 그대로 답으로 남긴 풀이
예를 들어 0≤x<2π에서 다음 방정식을 풀어 보자.
sin²x−sin x−2=0
학생이 먼저 t=sin x로 놓으면
t²−t−2=0
(t−2)(t+1)=0
t=2 또는 t=−1
까지 계산할 수 있다. 여기서 t=2와 t=−1을 모두 삼각방정식으로 연결하려 하면 오류가 생긴다. 사인값은 어떤 실수 x에 대해서도
−1≤sin x≤1
을 만족하므로 t=2는 처음부터 가능한 값이 아니다. 따라서 남는 조건은 sin x=−1이고, 주어진 범위에서 해는
x=3π/2
이다. t=2를 제거하지 않은 채 “sin x=2의 해”를 찾으려는 것은 계산 문제가 아니라 치환값의 범위를 빠뜨린 문제다.
계산 줄 사이에 넣어야 하는 한 줄
이 유형에서는 치환 직후 다음 조건을 함께 적는다.
t=sin x이므로 −1≤t≤1
그 뒤 이차방정식의 후보를 구하고 범위 밖의 값을 지운다.
t²−t−2=0 → t=2, −1
−1≤t≤1에 따라 t=−1만 가능
sin x=−1 → x=3π/2
이렇게 하면 기본해와 주기를 생략한 채 치환식만 계산하는 흐름을 끊을 수 있다. sin x=−1의 일반해를 쓸 경우에는 x=3π/2+2kπ이고, 구간 조건을 적용하면 해당 구간의 해 하나만 남는다.
부호가 바뀐 식에서 조건을 다시 적용하기
같은 판단이 계수와 표현이 달라져도 유지되는지 다음 문제로 확인한다.
0≤x<2π에서 2cos²x+cos x−1=0
u=cos x로 치환하면
2u²+u−1=0
(2u−1)(u+1)=0
u=1/2 또는 u=−1
두 값 모두 −1≤u≤1을 만족한다. 따라서 각각의 기본해를 범위 안에서 찾아야 한다.
cos x=1/2 → x=π/3, 5π/3
cos x=−1 → x=π
그러므로 해는 x=π/3, π, 5π/3이다. 첫 문제의 t=2처럼 범위 밖 후보가 생기지는 않지만, 치환한 함수의 값 범위를 먼저 적고 각 후보를 확인하는 절차는 그대로 유지된다.
마지막으로 역문제도 점검한다. “0≤x<2π에서 sin x의 값이 −1이 되는 방정식의 해를 구하라”는 조건을 보면, sin x=−1에서 x=3π/2를 찾고, 그 값이 사인의 최솟값이라는 범위를 거꾸로 확인해야 한다. 계수와 식의 모양이 달라져도 치환값의 범위, 기본해, 주기를 차례로 확인했다면 풀이의 연결이 유지된 것이다.