구리시고1수학과외, 행렬 거듭제곱의 곱셈 순서 점검
구리의 구리고등학교, 갈매고등학교, 인창고등학교 등에서 학교 프린트와 서술형 문항을 함께 다룰 때 행렬 계산은 숫자 계산의 익숙한 습관이 그대로 드러나는 단원이다. 특히 갈매동·교문동·수택동처럼 생활권과 주간 일정이 다른 학생이라도, 행렬에서는 계산 전후에 곱셈 순서를 기록하는지가 풀이의 정확도를 가른다.
익숙한 수의 법칙을 행렬식에 옮긴 순간
다음 두 행렬을 보자.
A = [[1, 1], [0, 1]], B = [[1, 0], [1, 1]]
학생은 (AB)2를 계산하면서 중간에 “제곱은 각각 하면 되므로 A2B2”라고 적고 다음 줄로 넘어갔다. 행렬 답안에는 AB를 먼저 계산하거나 곱셈 순서를 표시한 흔적이 없었다. 이는 계산 실수라기보다 행렬의 곱셈이 일반 수처럼 교환·분리되지 않는다는 조건을 점검하지 않은 장면이다.
거듭제곱의 괄호는 계산 순서를 보존한다
행렬의 거듭제곱은 같은 행렬을 정해진 순서로 곱하는 뜻이다. 따라서
(AB)2 = (AB)(AB)
이지, 항상 A2B2인 것은 아니다. 실제로
AB = [[2, 1], [1, 1]]
이므로
(AB)2 = [[2, 1], [1, 1]][[2, 1], [1, 1]] = [[5, 3], [3, 2]]
반면
A2 = [[1, 2], [0, 1]], B2 = [[1, 0], [2, 1]]
이어서
A2B2 = [[5, 2], [2, 1]]
가 된다. 두 결과가 다르므로 (AB)2 = A2B2라고 바꿀 수 없다.
곱셈 가능 여부와 순서를 한 줄에 남긴다
풀이를 시작하기 전 학생이 행렬의 순서를 소리 내어 읽거나 식 옆에 AB · AB를 직접 적도록 했다. 그 다음 각 곱을 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열로 계산하게 했다. 행렬에서는 일반적으로 AB ≠ BA이므로, 순서를 바꾸면 새로운 행렬이 된다는 점도 함께 확인했다.
실제로
BA = [[1, 1], [1, 2]]
이므로 AB와 BA부터 서로 다르다. 따라서 거듭제곱을 전개할 때도 괄호 안의 배열을 보존해야 한다. 학생은 수정 후 (AB)2 = (AB)(AB)를 먼저 적은 뒤, 계산 결과를 다시 원래 식의 구조와 대조했다.
표로 제시된 행렬도 제목과 단위를 먼저 확인한다
새로운 서술형 문제에서는 행렬을 바로 식으로 주지 않고, “두 단계 이동의 변환 행렬”이라는 표 제목과 행·열의 의미가 함께 제시된 자료를 사용했다. 이때 숫자만 읽지 않고 제목, 행과 열의 대상, 단위가 있는지를 먼저 확인하게 했다. 행렬의 각 원소가 무엇을 나타내는지 해석한 뒤에야 거듭제곱을 계산하도록 한 것이다.
예를 들어 표가 한 단계 변환을 나타내는 행렬 C를 제공한다면, 두 단계 변환은 문제의 방향에 따라 CC로 표현된다. 행렬의 위치가 바뀌면 의미도 달라질 수 있으므로, 표의 행·열 설명을 읽지 않고 숫자만 곱하지 않는지 살폈다.
조건을 하나 늘린 서술형 검증
검증 문제에서는 기존 계산에 “두 단계 변환 뒤 첫 번째 대상의 값만 구하라”는 조건을 추가하고, 행렬을 표 형태로 제시했다. 학생에게 정답을 먼저 알려주지 않고 표의 제목과 단위, 행·열의 관계를 읽게 한 다음, (AB)(AB)처럼 원래 순서를 두 번 기록하는지 확인했다.
마지막에는 계산한 행렬 전체가 아니라 요구된 위치의 원소만 선택하게 했다. 이 과정에서 학생이 표의 의미를 해석한 뒤에도 곱셈 순서를 스스로 남기면, 익숙한 수의 제곱 법칙을 행렬에 무심코 적용하던 행동이 수정된 것으로 기록한다. 다음 학습에서는 이 절차를 재현하지 못한 문제만 따로 남겨 확인한다.