구리 고3 수학과외에서 배열 조건을 조합으로 바꾸는 연습
구리시의 갈매동·교문동·수택동·인창동·토평동 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 배열 문제를 풀 때도 풀이 속도보다 조건을 정확히 분리하는 과정이 중요하다. 구리고등학교, 구리여자고등학교, 갈매고등학교 등에서 공부하는 학생의 실제 풀이에서는 ‘순서를 정하는가’와 ‘같은 대상을 다시 쓰는가’를 먼저 확인해야 한다.
배열 조건을 조합으로 바꾸기 전 확인할 것
학생은 7명의 학생 A, B, C, D, E, F, G 중 4명을 뽑아 발표 조를 만드는 문제에서 다음과 같이 풀이했다.
“발표 순서는 중요하지 않고 중복도 없으므로 전체 경우의 수는 7C4이다. A와 B가 함께 들어가야 하므로 A, B를 먼저 고정하고 나머지 2명을 5명 중에서 고르면 5C2이다.”
여기까지는 조건이 ‘A와 B가 반드시 포함된다’라면 맞다. 그러나 실제 문항에는 A와 B 중 정확히 한 명만 포함이라는 조건이 있었다. 학생은 원래 조건을 다시 읽지 않은 채 전체 조합에서 조건을 적용했기 때문에 A와 B가 함께 포함되는 경우까지 남겼다.
학생의 오답식은 다음과 같다.
오답: 7C4 − 5C2 = 35 − 10 = 25
이 식은 A와 B가 함께 포함된 경우를 제거한 것이 아니라, ‘A와 B 중 정확히 한 명’인 경우를 세지 못한다. 정확히 한 명을 선택하는 방법은 A를 고르고 나머지 3명을 B를 제외한 5명에서 고르는 경우와, B를 고르고 나머지 3명을 A를 제외한 5명에서 고르는 경우의 합이다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 식으로 옮기기
학생은 답안에서 7C4 − 5C2에 밑줄을 긋고, 옆에 “정확히 한 명”이라고 문자로 적었다. 그다음 선택된 집합을 다음처럼 나누었다.
- A는 포함하고 B는 제외: 나머지 3명을 C, D, E, F, G 중 선택 → 5C3
- B는 포함하고 A는 제외: 나머지 3명을 C, D, E, F, G 중 선택 → 5C3
따라서 올바른 식은
5C3 + 5C3 = 10 + 10 = 20
이다. 두 경우는 A와 B 중 포함되는 사람이 서로 다르므로 중복되지 않는다. 또한 각 조 안에서 발표 순서를 정하지 않으므로 4!을 곱하지 않는다. 반대로 발표 순서까지 정하는 문제였다면 같은 조건에서 (5P3) + (5P3) = 60 + 60 = 120이 된다.
역계산으로 출발 조건 검산하기
학생은 계산 결과 20을 얻은 뒤, 각 경우를 다시 원조건에 대입했다. A를 포함한 10개 조에서는 B가 빠져 있고, B를 포함한 10개 조에서는 A가 빠져 있으므로 모든 조가 ‘A와 B 중 정확히 한 명’ 조건을 만족한다.
또한 전체 4명 조합 35개를 세 부분으로 나누어 확인했다.
- A와 B가 모두 포함된 경우: 5C2 = 10
- A와 B가 모두 빠진 경우: 5C4 = 5
- A와 B 중 정확히 한 명이 포함된 경우: 20
10 + 5 + 20 = 35이므로 전체 조합과 일치한다. 이 역계산을 통해 처음의 7C4 − 5C2가 조건부 선택을 세는 식이 아니었음을 확인했다.
새 범위에서 독립적으로 검증하기
이번에는 8명 중 5명을 선발하되, X와 Y 중 정확히 한 명을 포함하고 Z는 반드시 제외하는 문제로 바꾸었다. Z를 먼저 제외하면 선택 가능한 학생은 X, Y와 나머지 5명이다.
X를 포함하고 Y를 제외하는 경우는 나머지 4명을 5명 중에서 고르는 5C4이고, Y를 포함하고 X를 제외하는 경우도 5C4이다. 따라서 정답은
5C4 + 5C4 = 5 + 5 = 10
이다. 전체에서 바로 7C4나 8C5를 적용하지 않고, 먼저 제외 조건 Z와 정확히 한 명 조건을 분리해야 한다. 새 문제에서도 선택된 집합을 하나씩 조건에 대입한 결과 X와 Y 중 하나만 포함되고 Z는 모두 빠져 있어, 수정한 풀이가 다른 범위에서도 유지되는지 확인할 수 있다.