토평동고2수학과외에서 삼각부등식을 점검할 때는 정답 구간보다 경계각을 왜 포함하거나 제외했는지 확인하는 과정이 중요하다. 토평고등학교와 구리여자고등학교의 과제·시험 준비에서도 풀이 줄에 등호의 의미를 남기는 습관이 필요하다.
cos x≥1/2에서 열린점으로 바뀐 π/3
구간 0≤x≤2π에서 다음 부등식을 풀어 보자.
cos x≥1/2
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
cos x=1/2 → x=π/3, 5π/3
따라서 0≤x<π/3 또는 5π/3<x≤2π
여기서 처음 어긋난 부분은 부등호의 방향이다. 문제에는 ≥가 있으므로 cos x=1/2인 경계각도 해에 포함된다. 단위원에서 코사인이 1/2 이상인 구간은 제1사분면의 시작점부터 제4사분면의 끝점까지이므로 정확한 해는
0≤x≤π/3 또는 5π/3≤x≤2π
이다. π/3과 5π/3을 열린점으로 표시하면 등호를 만족하는 두 해를 삭제하게 된다. 예를 들어 x=π/3을 원래 식에 대입하면 cos(π/3)=1/2이므로 분명히 조건을 만족한다.
계산 줄 바로 아래에 기호를 되돌려 쓰기
경계각에서 실수가 생기면 답만 고치지 않고, 처음 달라진 기호에 표시한다.
cos x≥1/2
cos x=1/2 → x=π/3, 5π/3
≥이므로 경계각 포함
0≤x≤π/3 또는 5π/3≤x≤2π
이처럼 등호가 포함된 부등식인지, 단순한 >인지 먼저 확인한 뒤 수직선이나 단위원에 닫힌 점을 표시해야 한다. 구리시의 다른 학교인 갈매고등학교·인창고등학교·수택고등학교 자료를 참고하더라도, 학교명을 문제 조건으로 임의 해석하지 않고 풀이 자체의 기호를 근거로 판단해야 한다.
조건 하나만 바꾼 cos x>1/2 검증
이번에는 범위는 그대로 두고 부등호만 바꾼다.
0≤x≤2π에서 cos x>1/2를 풀면, cos x=1/2인 두 경계각은 엄격한 부등식을 만족하지 않는다.
따라서 해는
0≤x<π/3 또는 5π/3<x≤2π
이다. 첫 문제와 비교하면 바뀐 부분은 양쪽 경계각의 포함 여부뿐이다. 답안에서 ≥일 때는 닫힌 점, >일 때는 열린 점을 사용하고, 처음 달라진 기호 아래에 해당 중간식을 다시 써야 새로운 조건에서도 경계각을 빠뜨리지 않았는지 확인할 수 있다.