토평동고1수학과외: 행렬식의 한 칸 오류를 행×열 곱으로 찾는 법
토평고등학교와 구리여자고등학교의 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 풀이를 빨리 이어 가는 것보다, 한 줄의 계산이 어디에서 바뀌었는지 확인하는 과정이 필요하다. 특히 행렬식은 한 칸의 숫자나 부호가 달라져도 이후 계산 전체가 흔들린다.
계산 결과보다 먼저 표시해야 할 추적 기준
다음 행렬의 행렬식을 계산한다고 하자.
A = [ [3, 2], [5, 4] ]
2×2 행렬식은 첫째 행의 성분과 둘째 행의 성분을 열 방향으로 대응시켜 계산한다.
det A = 3×4 - 2×5 = 12 - 10 = 2
그런데 학생은 답안에 3×4 - 2×4 = 4라고 적은 뒤 다음 줄로 넘어갔다. 둘째 항에서 둘째 열의 위아래 성분을 곱해 버린 것이다. 이 오류는 단순한 계산 실수라기보다, 행렬의 어느 위치가 서로 연결되는지 확인하지 않은 데서 생긴다.
오답식에서 틀린 칸을 역으로 찾아가기
풀이를 시작하기 전에는 종이에 “행렬식 계산 중 한 칸 오류를 행×열 곱으로 역추적”이라고 적는다. 이 문장은 계산을 대신하는 공식이 아니라, 각 곱이 어느 행과 열에서 나왔는지 되짚는 표지다.
- 첫 번째 곱 3×4는 왼쪽 위 성분과 오른쪽 아래 성분의 연결이다.
- 두 번째 곱 2×5는 오른쪽 위 성분과 왼쪽 아래 성분의 연결이다.
- 두 곱 사이에는 뺄셈이 들어간다.
따라서 3×4는 맞았는데 결과가 4라면, 12-10의 뺄셈을 다시 계산한다. 반대로 결과가 4이고 두 번째 곱이 2×4로 적혀 있다면, 오류가 발생한 칸은 오른쪽 아래의 4가 아니라 두 번째 곱에 잘못 끌어온 오른쪽 아래 성분이다. 원래 필요한 값은 왼쪽 아래의 5이므로 정확한 식은 3×4-2×5=2이다.
한 칸을 고친 뒤에도 원래 관계를 확인하기
수정한 뒤에는 답만 고쳐 쓰지 않는다. 행렬을 열벡터로 보고 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 함께 연결한다.
u=(3,5), v=(2,4)일 때 행렬식의 절댓값은
|det A| = |3×4-5×2| = 2
이다. 여기서 두 벡터가 만드는 도형의 넓이는 2이다. 학생이 한 칸을 잘못 사용해 3×4-2×4를 계산하면 행렬의 열벡터 관계가 깨지고, 도형의 넓이를 나타내는 값도 4로 바뀐다. 계산 전과 계산 후에 같은 추적 문장을 확인하면, 어느 성분이 어느 곱에 들어갔는지 다시 점검할 수 있다.
풀이 전·후 두 번의 확인을 실제 답안에 넣기
토평동에서 귀가 후 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때는 긴 복습보다 한 문제의 풀이 흔적을 분명히 남기는 편이 효과적이다. 풀이 전에는 행렬의 네 칸을 위치별로 읽고, 두 곱을 표시한다.
(1,1)×(2,2) - (1,2)×(2,1)
풀이 후에는 실제 숫자를 대입한 식이 이 위치 관계와 일치하는지 확인한다. 예를 들어 [ [−2, 7], [3, 1] ]에서는
det A = (−2)×1 - 7×3 = −2 - 21 = −23
이다. −2×1을 −2로 계산한 뒤 7×3을 더해 −23이 되는지까지 살핀다. 부호를 빠뜨려 −2+21=19로 적었다면, 오류의 위치는 행렬의 칸이 아니라 행렬식 사이의 뺄셈 부호임을 기록한다.
그림이 바뀐 유사문제에서 확인할 것
같은 행렬을 다시 계산하는 대신, 다음과 같이 두 점을 이용해 만든 평행사변형의 넓이를 묻는 문제로 바꾸어 확인한다. 한 변의 방향벡터가 (4,1), 다른 변의 방향벡터가 (−2,3)이라면 넓이는
|4×3 - 1×(−2)| = |12+2| = 14
이다. 이때 먼저 두 벡터가 도형의 두 변이라는 조건을 연결한 뒤 행렬식의 행×열 곱을 구성해야 한다. 숫자만 보고 공식을 기계적으로 쓰는지, 그림의 두 변을 행렬의 두 열로 정확히 대응시키는지 확인한다.
도형의 방향이 바뀌어 행렬식이 음수가 되더라도 넓이는 절댓값으로 해석한다. 예를 들어 벡터의 순서를 바꾸면 행렬식의 부호는 달라지지만 넓이 14는 변하지 않는다. 그림이 달라져도 두 변과 행렬식의 관계를 스스로 찾아내고, 오류가 난 칸 또는 곱을 역추적한다면 이 계산 항목을 독립적으로 적용한 것으로 볼 수 있다.