토평동 고3 수학과외에서 점검한 조건부 배열의 순서 판단
토평동에서 고3 수학을 공부하는 학생이 배열 문제를 풀 때, 처음 몇 자리의 순서는 맞게 정했지만 금지 위치 조건을 마지막에 처리하면서 중복을 허용하는 오류를 보였다. 토평동 내 고등학교로 확인되는 토평고등학교와 구리여자고등학교 학생도 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 함께 점검할 때 이런 풀이 과정을 구분해 기록할 필요가 있다.
금지 조건을 마지막에 빼면 생기는 중복
문제: 숫자 \(1,2,3,4,5\)를 한 번씩 사용하여 다섯 자리 수를 만들 때, \(1\)이 첫 번째 자리에 오지 않고 \(2\)가 두 번째 자리에 오지 않도록 하는 배열의 개수를 구하여라.
학생은 전체 배열 \(5!\)에서 \(1\)이 첫 자리에 오는 경우 \(4!\), \(2\)가 둘째 자리에 오는 경우 \(4!\)를 빼어 다음과 같이 계산했다.
학생의 오답: \(5!-4!-4!=120-24-24=72\)
이 식은 오답이다. \(1\)이 첫 자리에 오면서 동시에 \(2\)가 둘째 자리에 오는 배열 \(3!\)을 두 번 빼었기 때문이다. 제외 조건이 겹치는 부분을 다시 더해야 하므로 포함배제 원리를 적용해야 한다.
정확한 식은 다음과 같다.
\[ 5!-4!-4!+3!=120-24-24+6=78 \]
따라서 조건을 만족하는 배열은 \(78\)개이다. 학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 각 제외 조건을 괄호로 묶어 겹치는 배열을 확인해야 한다.
- \(A\): \(1\)이 첫 번째에 오는 경우, \(|A|=4!\)
- \(B\): \(2\)가 두 번째에 오는 경우, \(|B|=4!\)
- \(A\cap B\): 두 조건이 동시에 성립하는 경우, \(|A\cap B|=3!\)
이후 \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)를 대입하고, \(78+42=120\)인지 역으로 확인한다. 즉 허용되는 배열 \(78\)개와 금지되는 배열 \(42\)개가 전체 \(120\)개와 일치하므로 계산도 검산된다. 단순히 “실수”라고 적는 대신, 맞게 센 앞부분과 중복을 놓친 뒷부분을 나누어 표시하는 것이 핵심이다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 숫자와 금지 위치를 바꾸어 확인한다.
문제: \(a,b,c,d,e\)를 일렬로 배열할 때 \(a\)가 첫 번째 또는 두 번째 자리에 오지 않고, \(b\)가 네 번째 자리에 오지 않도록 하는 배열의 개수를 구하여라.
\(a\)가 첫 번째에 오는 경우와 두 번째에 오는 경우는 서로 겹치지 않지만, 각각 \(b\)가 네 번째에 오는 경우와 겹친다.
\[ 5!-2\cdot4!-4!+2\cdot3! =120-48-24+12=60 \]
학생은 금지 위치를 마지막에 한꺼번에 빼지 않고, 괄호로 \((a\text{의 금지 위치})\), \((b\text{의 금지 위치})\)를 나눈 뒤 교집합을 별도로 표시한다. 마지막에는 허용 배열 \(60\)개와 금지 배열 \(60\)개를 더해 \(120\)이 되는지 확인한다. 이렇게 조건의 관계를 먼저 구조화하면 순서 판단과 중복 허용 여부를 안정적으로 구분할 수 있다.