인창동고2수학과외: 삼각부등식에서 경계각을 포함하는 조건
인창고등학교의 학교 프린트와 지필평가를 함께 정리할 때는 삼각함수의 값만 찾는 것보다 각의 범위와 부등호를 끝까지 확인해야 한다. 인창주공1단지와 인창해모로아파트 생활권에서 평일 귀가 후 짧게 문제를 풀더라도, 경계각을 점으로 표시하는 과정은 생략하지 않아야 한다.
cos x≥1/2에서 π/3을 열린점으로 표시한 이유
풀이 중 다음과 같은 표시가 남았다.
0≤x≤2π에서 cos x≥1/2
학생의 표시: 0≤x<π/3 또는 5π/3<x≤2π
여기서 π/3을 열린점으로 처리한 것이 오류다. 부등식이 cos x≥1/2이므로 cos x=1/2인 경계각은 해에 포함된다. 단위원에서 cos x=1/2가 되는 각은 0≤x≤2π에서 x=π/3, 5π/3이다. 따라서 정확한 해는
0≤x≤π/3 또는 5π/3≤x≤2π
이다. 특히 x=π/3을 원래 식에 대입하면
cos(π/3)=1/2
이므로 cos x≥1/2를 만족한다. 따라서 π/3은 제외할 수 없다. 같은 이유로 5π/3도 포함해야 한다. 등호가 들어간 부등식에서는 경계값을 대입해 실제로 성립하는지 확인하고, <나 >처럼 등호가 없는 경우에만 열린점으로 표시한다.
각의 범위를 먼저 적어야 해가 달라진다
삼각부등식은 주기만 보고 일반적인 해를 쓰면 안 된다. 이 문제에서는 반드시 0≤x≤2π라는 범위 안에서 단위원의 오른쪽 영역을 골라야 한다. cos x≥1/2인 구간은 x축 양의 방향을 중심으로 한 두 구간이며, 범위의 양 끝인 0과 2π에서도 cos x=1이므로 포함된다.
풀이할 때는 식 옆에 다음 세 가지를 차례로 남긴다.
- 부등호에 등호가 있는지 확인한다.
- cos x=1/2의 경계각 π/3, 5π/3을 찾는다.
- 각 경계각을 원래 부등식에 대입해 포함 여부를 결정한다.
이 과정을 따르면 부등호를 그래프에 옮기는 순간 경계각을 임의로 제외하는 실수를 줄일 수 있다.
결과에서 조건을 거꾸로 찾는 검산
이번에는 식이 주어지지 않고 해의 범위만 주어졌다고 하자.
0≤x≤2π에서 해가 0≤x≤π/3 또는 5π/3≤x≤2π일 때, 가능한 부등식은 무엇인가?
경계각 π/3과 5π/3에서 삼각함수값이 1/2이고, 그 양옆의 구간에서 오른쪽 영역이 선택되므로 조건은
cos x≥1/2
이다. 만약 cos x>1/2라면 π/3과 5π/3에서 등호가 성립하므로 두 경계각이 빠져 해가 0≤x<π/3 또는 5π/3<x≤2π가 된다. 따라서 해집합의 끝점이 닫혀 있는지 거꾸로 확인하면 부등호에 등호가 포함되었는지도 판단할 수 있다.
인창동에서 삼각방정식과 부등식을 정리할 때는 정답 구간만 적지 말고, 경계각의 대입 결과와 각의 범위를 함께 남겨야 한다. 그래야 조건이 바뀐 문제에서도 열린점과 닫힌점을 스스로 구별할 수 있다.