인창동고1수학과외: 행렬 곱을 계산한 뒤 자료의 의미까지 읽기
인창고등학교 학교 프린트에서 행렬 계산 문제를 풀 때, 결과 행렬만 맞히고 각 성분이 무엇을 뜻하는지 설명하지 못하는 경우가 있다. 인창동의 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위·수행평가 일정을 함께 관리하려면, 계산 결과를 단순한 숫자표가 아니라 원래 자료의 관계로 다시 해석하는 연습이 필요하다.
같은 위치끼리 곱하면 행렬 곱이 되지 않는다
다음 두 행렬을 보자.
A = \(\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&0\end{pmatrix}\), B = \(\begin{pmatrix}4&5\\3&2\\1&6\end{pmatrix}\)
A는 두 학급의 세 과목별 학습 시간, B는 세 과목의 시간당 점수 환산 계수라고 하자. A는 2×3 행렬이고 B는 3×2 행렬이므로 앞 행렬의 열 수 3과 뒤 행렬의 행 수 3이 같아 곱할 수 있다. 결과는 2×2 행렬이다.
AB = \(\begin{pmatrix} 2\cdot4+1\cdot3+3\cdot1 & 2\cdot5+1\cdot2+3\cdot6\\ 1\cdot4+2\cdot3+0\cdot1 & 1\cdot5+2\cdot2+0\cdot6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix}14&30\\10&9\end{pmatrix}\)
첫 번째 행과 첫 번째 열을 연결한 14는 첫 학급 자료와 B의 첫 번째 열이 결합된 값이다. 따라서 각 결과 성분은 같은 위치의 두 수를 곱한 값이 아니라, 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 내적한 값이다.
실제 풀이에서 드러난 판단의 빈틈
학생은 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 비교하지 않고, \(2\cdot4\), \(1\cdot5\), \(3\cdot6\)처럼 같은 위치의 원소를 곱해 결과를 적었다. 이어서 답지의 행렬을 옮겨 적었지만, 결과의 첫째 행이 어느 학급의 자료이고 각 열이 어떤 환산 기준인지 말로 확인하지 않았다.
이 상태에서는 행렬의 곱셈 형식만 부분적으로 기억한 것이다. 계산 뒤에도 결과 행렬의 행과 열이 원자료에서 무엇을 가리키는지 연결하는 기준이 일정하지 않다.
한 칸을 계산할 때마다 행과 열의 의미를 붙인다
수정할 때는 결과의 한 칸을 먼저 지정한다. 예를 들어 \(AB\)의 2행 1열 성분은 A의 2행과 B의 1열을 곱해 더한다.
\[ (AB)_{21}=1\cdot4+2\cdot3+0\cdot1=10 \]
여기서 A의 2행은 두 번째 학급의 세 과목 자료이고, B의 1열은 첫 번째 환산 기준의 세 과목 계수이다. 따라서 10은 “두 번째 학급 자료를 첫 번째 기준으로 환산한 값”으로 해석한다. 계산 노트에는 정답 전체를 다시 베끼기보다 “행 2와 열 1을 연결해 내적 계산 후 자료 의미를 문장으로 확인”이라고 한 가지 행동만 남긴다.
인창동의 짧은 평일 시간에 적용하는 방식
인창주공1단지나 인창해모로아파트에서 귀가한 뒤 시간이 짧은 날에는 행렬 계산량을 무작정 늘리기보다 학교 프린트의 한 문제를 골라 계산과 해석을 함께 기록한다. 시험 범위와 수행평가 일정이 겹친 주간에는 결과 행렬의 행·열이 각각 무엇을 나타내는지 한 문장으로 적는 훈련을 먼저 끝낸 뒤, 남은 시간에 유사 계산을 배치한다. 갈매고등학교·토평고등학교·수택고등학교·서울삼육고등학교는 같은 구리시의 참고 학교일 뿐, 인창동 내 학교로 구분해 다루지 않는다.
조건을 바꾼 문제에서 스스로 확인하기
다음에는 행렬의 크기와 자료의 역할을 바꾼다.
\(C=\begin{pmatrix}3&0\\2&1\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\) 일 때 \[ CD=\begin{pmatrix}3\cdot5+0\cdot4\\2\cdot5+1\cdot4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}15\\14\end{pmatrix}. \]
학생이 \(C\)의 각 행과 \(D\)의 열을 연결해 계산하고, 두 결과가 각각 C의 첫째·둘째 행 자료를 D의 기준으로 바꾼 값이라고 설명하는지 확인한다. 계산 후에는 결과를 원래 자료에 대입해 역으로 점검한다. 소인수분해가 함께 섞인 문제라면 예를 들어 \(84=2^2\cdot3\cdot7\)을 다시 곱해 빠진 소인수나 지수를 찾게 하되, 새 교재를 펼치기보다 미완료한 현재 문제를 먼저 선택하는지까지 살핀다.