붙을 수 없는 조건부터 점검하는 배열 풀이
인창동의 고3 학생은 인창고등학교 시험 범위와 수행평가 일정을 평일 귀가 시간에 맞춰 나누어 공부하고 있었다. 배열 단원에서 순서를 세는 문제를 풀 때도 계산 속도보다 금지 조건과 필수 조건의 관계를 먼저 확인하는 연습이 필요했다.
조건을 제외하지 않고 계산한 오답
서로 다른 6명 A, B, C, D, E, F를 한 줄로 배열할 때 A와 B는 서로 붙지 않고, C와 D는 반드시 붙어야 한다고 하자.
학생은 C와 D를 하나의 묶음으로 보고 다음과 같이 계산했다.
오답: 2! × 5! = 240
C와 D를 CD 또는 DC로 정한 뒤, 묶음 하나와 A, B, E, F를 배열한 계산이다. 그러나 이 식은 A와 B가 붙는 배열까지 모두 포함한다. 따라서 A와 B가 붙으면 안 된다는 조건을 누락한 오답이다.
금지 배열을 빼서 정답 만들기
먼저 C와 D를 묶으면 전체 배열 수는
2! × 5! = 240
이다. 이 중 A와 B가 붙는 경우에는 AB 또는 BA를 하나의 묶음으로 만들 수 있다. 그러면 CD 묶음, AB 묶음, E, F의 네 대상을 배열하므로
4! × 2! × 2! = 96
가지이다. 따라서 조건을 만족하는 배열은
2! × 5! − 4! × 2! × 2! = 240 − 96 = 144
가지이다. 실제 답안에서는 학생이 틀린 줄에 밑줄을 긋고, ‘A·B 인접 금지’ 조건이 전체 계산에 반영되었는지 확인한 뒤 금지되는 경우를 빼도록 식을 수정했다. 마지막으로 144가 전체 240보다 작고 양수인지, 제외한 96과 더해 전체 배열 수 240이 되는지 역계산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 서로 다른 7권의 책 A, B, C, D, E, F, G를 배열하되 C를 네 번째 자리에 고정하고 A와 B가 서로 붙지 않게 하는 경우를 확인했다.
C를 제외한 여섯 자리에 나머지 책을 배열하는 전체 경우는 6! = 720이다. C가 네 번째에 고정되어 있으므로 A와 B가 붙을 수 있는 자리는 양끝을 제외한 네 개의 인접 쌍이다. A와 B의 순서는 2가지이고 나머지 네 권은 4!가지이므로 금지 배열은
4 × 2! × 4! = 192
이다. 따라서 정답은
6! − 4 × 2! × 4! = 720 − 192 = 528
이다. 고정된 위치 때문에 인접한 자리의 수가 달라진다는 점까지 확인하면서, 새로운 조건에서도 먼저 금지 위치를 제외해야 한다는 기준을 독립적으로 검증했다.
인창동 지역명고3수학과외 학습에서는 문제를 보자마자 곱셈을 시작하기보다 필수로 붙는 대상, 서로 붙으면 안 되는 대상, 고정된 위치를 표시하고 최종 답의 형태를 먼저 제한하는 풀이가 효과적이다. 구리시 내 갈매고등학교, 토평고등학교, 수택고등학교, 서울삼육고등학교는 참고 학교로 구분하며, 학생별 시험 범위와 귀가 시간에 따라 배열 조건을 점검하는 시간을 따로 배치할 수 있다.