수택동 고2수학과외: 삼각방정식의 그래프 교점과 해의 개수
그래프 문제에서 해의 개수를 셀 때는 교점의 위치뿐 아니라 각 함수의 주기와 범위를 함께 확인해야 합니다. 수택동의 수택고등학교와 구리고등학교처럼 학교별 내신 일정과 주간 학습량이 다르더라도, 이 유형에서는 풀이 과정에 남은 조건 표시가 판단의 기준이 됩니다.
sin x와 x/2의 교점을 주기만으로 세면 생기는 오류
다음 방정식을 구간 0≤x≤2π에서 생각해 봅니다.
sin x = x/2
학생의 오답표에는 삼각함수의 한 주기를 확인한 뒤 끝점의 교점을 다시 세어 해를 중복한 흔적이 남았습니다. 그러나 오른쪽의 x/2는 주기함수가 아닙니다. 따라서 이 식은 단순히 사인 그래프 한 주기의 반복만으로 셀 수 없습니다.
먼저 교점이 생길 수 있는 범위를 확인합니다. 0≤x≤2π에서 x/2≥0이므로 sin x도 음수가 아닌 구간이어야 합니다. 따라서 가능한 구간은 0≤x≤π입니다. π≤x≤2π에서는 sin x≤0이고 x/2>0이므로 교점이 없습니다.
f(x)=sin x-x/2라 두면
f(0)=0, f(π)=-π/2<0입니다. 또 f(π/2)=1-π/4>0이므로 0과 π/2 사이에 0이 아닌 교점이 하나 존재합니다. 실제로 0<x<π에서 f''(x)=-sin x<0이므로 그래프는 아래로 굽으며, 양 끝의 부호 변화를 이용해 추가 교점이 하나임을 확인할 수 있습니다.
따라서 이 구간의 해는 x=0과 0이 아닌 한 해로, 해의 개수는 2개입니다. 2π는 이 식의 해가 아니며, 주기 끝이라는 이유로 교점을 추가할 수도 없습니다.
계산 전에 네모로 고정할 세 가지 확인
그래프 교점 문제를 풀 때 답안 위에 다음을 먼저 적습니다.
☐ 주어진 구간의 양 끝점 포함 여부
☐ 두 식이 모두 같은 주기를 갖는지 여부
☐ 각 교점이 실제로 원래 식을 만족하는지 여부
이번 문제에서는 0≤x≤2π가 닫힌 구간이므로 x=0을 포함합니다. 하지만 x=2π를 대입하면
sin 2π=0, (2π)/2=π
이므로 등식이 성립하지 않습니다. 끝점에 있다는 사실만으로 해가 되지는 않습니다.
범위를 넓혔을 때도 같은 판단을 유지하는가
이번에는 범위를 -2π≤x≤2π로 바꿉니다.
sin x=x/2는 양변이 모두 홀함수이므로, 양의 해가 하나 있으면 그 반대수도 해입니다. 앞에서 확인한 양의 해를 α라 하면 해는
x=-α, 0, α
가 되어 총 3개입니다. x>2에서는 x/2>1≥sin x이므로 양의 추가 해가 없고, 홀대칭에 의해 음의 쪽에도 추가 해가 없습니다.
범위가 바뀐 뒤에도 주기 끝점을 자동으로 복사하지 않고, 끝점 대입과 함수의 부호를 다시 확인했다면 해의 개수를 정확히 셀 수 있습니다.